Når vi studerer polyeder, støder vi på Platons faste stoffer som en særlig sag. For at være et Platon-faststof skal polyhedronen opfylde tre betingelser:
være konveks;
alle ansigter har den samme mængde kanter;
alle hjørner er ender af det samme antal kanter.
Flere filosoffer søgte at forstå universets oprindelse, og Platon så det i rumlig geometri forklaringen på denne oprindelse. Platons faste stoffer er:
tetraeder;
hexahedron;
oktaeder;
dodecahedron;
icosahedron.
Alle betragtes som regelmæssige polygoner som deres kanter og deres ansigter er alle kongruente. Platons faste stoffer respekterer Eulers forhold, der angiver antallet af hjørner, ansigter og kanter med formlen V + F = A + 2.
Læs også: Hvad er forskellen mellem flade og rumlige figurer?
regelmæssig polyhedra
Søgningen efter regelmæssig polyhedra er tilbagevendende, da de er lettere at arbejde med. En flerhed er klassificeret som regelmæssig, hvis den har alle ansigter dannet af det samme polygon kongruent. Når dette sker, vinkler og kanter er også kongruente.
Platons faste stoffer er særlige tilfælde af regelmæssig polyhedra. Terningen, for eksempel, som er et platonfast stof, har alle sine ansigter dannet af kongruente firkanter. Af Platons fem faste stoffer, tre er dannet af trekantede flader med kongruente trekanter, den ene er dannet af firkantede flader og den anden er dannet af femkantede flader.
Hvad er Platons faste stoffer?
Platon var en græsk filosof og matematiker. Han bidrog meget til matematik og forsøgte at forstå universet, tilknyttede faste stoffer med naturelementer.
For at være et platonisk faststof skal polyhedronet være regelmæssig og konveks. Der er kun fem faste stoffer, der opfylder denne definition. De er: tetraeder, terning eller hexaheder, oktaeder, ikosaeder og dodekaeder.
Forholdet mellem naturelementet og det faste stof var:
tetraeder - ild
hexahedron - Jorden
oktaeder - luft
icosahedron - Vand
dodecahedron - Cosmo eller univers
At være et Platon-fast stof O polyhedron skal også være konveksskal alle ansigter have det samme antal kanter, og alle hjørner skal være enderne af det samme antal kanter.
Se også: Brosten - geometriske faste stoffer dannet af flade og polygonale ansigter
regelmæssig tetraeder
Den almindelige tetraeder er en polyhedron, der har 4 ansigter, hvilket retfærdiggør sit navn (tetra = fire). alle dine ansigter er dannet af trekanter. Det er formet som en pyramide af trekantet base og er kendt som en pyramide med regelmæssig base, da alle dens ansigter er kongruente. Den har i alt 4 ansigter (i formatet ligesidet trekant), 4 hjørner og 6 kanter.
Hvis du vil bygge din egen almindelige tetraeder, skal du bare downloade og udskrive PDF-filen på her.
Regelmæssig terning eller hexahedron
den almindelige hexahedron har 6 ansigter, som retfærdiggør sit navn (hex = seks). dine ansigter er alle sammen firkant. Det er også kendt som en terning og har 6 ansigter, 12 kanter og 8 hjørner.
Hvis du vil bygge din egen terning, skal du bare downloade og udskrive PDF-filen på her.
Octahedron
Ligesom de foregående er navnet knyttet til antallet af ansigter, deraf oktaeder har 8 ansigter. Disse ansigter har ligesidet trekantform. Oktahedronen har 8 ansigter, 12 kanter og 6 hjørner.
Hvis du vil bygge din egen oktaeder, skal du bare downloade og udskrive PDF-filen på her.
icosahedron
Icosahedronen har i alt 20 ansigter. Deres ansigter er formet som ligesidede trekanter, ligesom oktaeder. Den har i alt 20 ansigter, 30 kanter og 12 hjørner.
Hvis du vil bygge din egen icosahedron, skal du bare downloade og udskrive PDF-filen på her.
Dodecahedron
Dodecahedronen er den sidste af Platons faste stoffer. Den har i alt 12 ansigter og det betragtes som mere harmonisk blandt de fem platoniske faste stoffer. Deres ansigter har form af pentagoner. Den har 12 ansigter, 30 kanter og 20 hjørner.
Hvis du vil bygge din egen dodecahedron, skal du bare downloade og udskrive PDF-filen på her.
Også adgang: Cylinder - geometrisk faststof dannet af to parallelle cirkulære flader og i forskellige planer
Eulers formel
Euleriske polyedre er konvekse polyedre. Euler udviklede en formel, der relaterer antallet af ansigter (F), antallet af hjørner (V) og antallet af kanter (A) i en konveks polyhedron. Alle Platons faste stoffer tilfredsstiller Euler-forholdet.
V + F = A + 2 |
Analyse af formlen, det er så muligt at beregne antallet af hjørner fra antallet af ansigter og kanter eller antallet af ansigter fra antallet af hjørner og kanter, kort sagt kende to af dets elementer, er det altid muligt at finde det tredje.
Eksempel:
At vide, at en polyhedron har 8 hjørner og 12 kanter, og at den er regelmæssig, hvor mange ansigter har den?
Vi ved, at V + F = A + 2
V = 8
A = 12
8 + F = 12 + 2
8 + F = 14
F = 14 - 8
F = 6
løste øvelser
Spørgsmål 1 - (Enem 2016) Platons faste stoffer er konvekse polyedre, hvis ansigter er alle kongruente til en enkelt polygon regelmæssigt har alle hjørner det samme antal indfaldende kanter, og hver kant deles kun med to. ansigter. De er for eksempel vigtige i klassificeringen af formerne for mineralkrystaller og i udviklingen af forskellige objekter. Som alle konvekse polyhedroner respekterer Platons faste stoffer Euler-forholdet V - A + F = 2, hvor V, A og F er antallet af hjørner, kanter og ansigter på polyhedronet.
Hvad er sammenhængen mellem antallet af hjørner og antallet af ansigter i en krystal, hvis form er af en trekantet ansigt Platons polyhedron?
A) 2V - 4F = 4
B) 2V - 2F = 4
C) 2V - F = 4
D) 2V + F = 4
E) 2V + 5F = 4
Løsning
Alternativ C. Da ansigterne er trekantede, ved vi, at der for hvert ansigt er 3 kanter. For at relatere antallet af kanter til antallet af ansigter er det dog vigtigt at huske, at hver kant er indeholdt på to ansigter, fordi mødet mellem to ansigter danner en kant, så vi kan relatere kant til ansigt i dette tilfælde om:
Når vi har Euler-forholdet V - A + F = 2 og erstatter A, skal vi:
Spørgsmål 2 - Ud fra nedenstående alternativer bedøm hvilken der ikke er et Platon-fast stof.
A) terning
B) Regelmæssig tetraeder
C) Icosahedron
D) Dodecahedron
E) Kegle
Løsning:
Alternativ E. Af alternativerne er den eneste der ikke svarer til et Platon-fast stof kegle.
Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/os-solidos-platao.htm
