DET 2. graders ligning er karakteriseret For en polynom af grad 2, det vil sige et polynom af typen ax2+ bx + c, hvor Det, B og ç de er reelle tal. Når vi løser en ligning af grad 2, er vi interesserede i at finde værdier til det ukendte. x der gør værdien af udtrykket lig med 0, der kaldes rødder, det vil sige akse2 + bx + c = 0.
Læs også: Forskelle mellem funktion og ligning
Typer af 2. graders ligninger
2. graders ligning kan være repræsenteret af ax² + bx + c = 0, hvor koefficienterne Det, B og ç er reelle tal med Det ≠ 0.
→ Eksempler
a) 2x2 + 4x - 6 = 0 → a = 2; b = 4 og c = - 6
b) x2 - 5x + 2 = 0 → a = 1; b = - 5 og c = 2
c) 0,5x2 + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 og c = -1
2. graders ligning er klassificeret som komplet når alle koefficienter er forskellige fra 0, dvs. Det ≠ 0, B ≠ 0 og ç ≠ 0.
2. graders ligning er klassificeret som ufuldstændig når værdien af koefficienterne B eller ç er lig med 0, dvs. b = 0 eller c = 0.
→ Eksempler
a) 2x2 - 4 = 0 → a = 2; b = 0 og c = - 4
b) -x2 + 3x = 0 → a = - 1; b = 3 og c = 0
c) x2 = 0 → a = 1; b = 0 og c = 0
Heads up: koefficientværdien Det det er aldrig lig med 0, hvis det sker, er ligningen ikke længere 2. grad.
Hvordan løses 2. graders ligninger?
Løsningen af en 2. graders ligning opstår, når rødder findes, det vil sige de værdier, der er tildelt x. Disse værdier af x skal gøre ligestillingen sand, det vil sige ved at erstatte værdien af x i udtrykket skal resultatet være lig med 0.
→ Eksempel
I betragtning af x-ligningen2 - 1 = 0 har vi, at x ’= 1 og x’ ’= - 1 er ligninger af ligningen, fordi ved at erstatte disse værdier i udtrykket har vi en ægte lighed. Se:
x2 – 1 = 0
(1)2 - 1 = 0 og (–1)2 – 1 = 0
For at finde løsningen på en ligning, er det nødvendigt at analysere, om ligningen er komplet og ufuldstændig, og vælge hvilken metode, der skal bruges.
Løsningsmetode til ligninger af typen ax²+ c = 0
Metoden til at bestemme løsningen på ufuldstændige ligninger, der har B=0består i at isolere det ukendte x, dermed:
→ Eksempel
Find rødderne til ligningen 3x2 – 27 = 0.
Hvis du vil vide mere om denne metode, skal du gå til: 2. grad ufuldstændig ligning med nulkoefficient b.
Løsningsmetode til ligninger af typen økse2 + bx = 0
Metoden til bestemmelse af de mulige løsninger i en ligning med ç = 0, består af at bruge bevis factoring. Se:
økse2 + bx = 0
x · (ax + b) = 0
Når man ser på den sidste ligestilling, bemærkes det, at der er en multiplikation, og at for at resultatet skal være 0, er det nødvendigt, at mindst en af faktorerne er lig med 0.
x · (ax + b) = 0
x = 0 eller ax + b = 0
Således er løsningen på ligningen givet ved:
→ Eksempel
Bestem ligningen af ligningen 5x2 - 45x = 0
Hvis du vil vide mere om denne metode, skal du gå til: ufuldstændig 2. graders ligning med nulkoefficient c.
Løsningsmetode til komplette ligninger
Metoden kendt som Bhaskara metode eller Bhaskara formel påpeger, at rødderne til en 2. graders ligning af typen ax2 + bx + c = 0 er givet ved følgende forhold:
→ Eksempel
Bestem ligningen af ligningen x2 - x - 12 = 0.
Bemærk, at koefficienterne i ligningen er: a = 1; B= - 1 og ç = – 12. Ved at erstatte disse værdier i Bhaskara's formel har vi:
Deltaet (Δ) er opkaldt efter diskriminerende og bemærk, at det er inde i en kvadrat rod og som vi ved at tage de reelle tal i betragtning, er det ikke muligt at udtrække kvadratroden af et negativt tal.
Når vi kender værdien af den diskriminerende, kan vi komme med nogle udsagn om løsningen af 2. grads ligning:
→ positiv diskriminant (Δ> 0): to løsninger til ligningen;
→ diskriminant lig med nul (Δ = 0): ligningens løsninger gentages;
→ negativ diskriminant (Δ <0): indrømmer ikke rigtig løsning.
Anden grad ligningssystemer
Når vi samtidig overvejer to eller flere ligninger, har vi en ligningssystem. Løsningen af et 2-variabelt system er sæt bestilte par som samtidig opfylder alle involverede ligninger.
→ Eksempel
Overvej systemet:
Med værdierne: x ’= 2, x’ ’= - 2 og y’ = 2, y ’’ = - 2 kan vi samle ordnede par, der tilfredsstiller systemligningerne samtidigt. Se: (2, 2), (2, - 2), (- 2, 2), (- 2, - 2).
Husk at et ordnet par er skrevet af formularen (x, y).
Metoderne til at finde løsningen på et ligningssystem svarer til lineære systemer.
→ Eksempel
Overvej systemet:
Fra ligningen x - y = 0, lad os isolere det ukendte x, dermed:
x - y = 0
x = y
Nu skal vi erstatte den isolerede værdi i den anden ligning som denne:
x2 - x –12 = 0
y2 - y –12 = 0
Ved hjælp af Bhaskaras metode skal vi:
Da x = y, vil vi have x '= y' og x '' = y ''. Dvs.
x ’= 4
x ’’ = -3
Således er de bestilte par løsninger på systemet (4, 4) og (- 3, - 3).
Læs mere: System med 1. og 2. graders ligninger
løste øvelser
Spørgsmål 1 - (ESPM -SP) Løsningerne til ligningen nedenfor er to tal
a) fætre.
b) positive.
c) negativ.
d) par.
e) ulige.
Opløsning
Vi ved, at nævnerne for en brøk ikke kan være lig med nul, så x ≠ 1 og x ≠ 3. Og da vi har en lighed med brøker, kan vi krydsmultiplikere og opnå:
(x + 3) · (x + 3) = (x - 1) · (3x +1)
x2 + 6x +9 = 3x2 - 2x - 1
x2 - 3x2 + 6x + 2x +9 +1 = 0
(– 1) - 2x2 + 8x +10 = 0 (– 1)
2x2 - 8x - 10 = 0
Ved at dele begge sider af ligningen med 2 har vi:
x2 - 4x - 5 = 0
Ved hjælp af Bhaskara's formel følger det at:
Bemærk, at ligningens rødder er ulige tal.
Alternativ e.
spørgsmål 2 - (UFPI) En fjerkræavler fandt ud af, at kun en fugl ville være tilbage efter at have placeret (n +2) fugle i hver af de n tilgængelige planteskoler. Det samlede antal fugle for enhver naturlig værdi på n er altid
a) et lige antal.
b) et ulige tal.
c) en perfekt firkant.
d) et tal, der kan deles med 3.
e) et primtal.
Opløsning
Antallet af fugle kan findes ved at gange antallet af fugle med antallet af fugle, der placeres i hver enkelt. af dem, ved erklæringen af øvelsen efter at have gjort denne proces, er der stadig en fugl tilbage, vi kan skrive alt dette i det følgende måde:
n · (n + 2) +1
Udførelse af distribution får vi:
ingen2 + 2n +1
Og medregnet dette polynom følger det at:
(n + 1)2
Således er det samlede antal fugle altid en perfekt firkant for ethvert naturligt antal n.
Alternativ C
af Robson Luiz
Matematiklærer
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-2-grau.htm