Lineære systemer: hvad de er, hvordan man løser, typer

Løse systemerlineær det er en meget tilbagevendende opgave for studier inden for naturvidenskab og matematik. Søgningen efter ukendte værdier førte til udviklingen af ​​metoder til løsning af lineære systemer, såsom tilføjelses-, ligestillings- og substitutionsmetoden til systemer, der har to ligninger og to ukendteog Crammers regel og skalering, der løser lineære systemer med to ligninger, men som er mere bekvemme for systemer med flere ligninger. Et lineært system er et sæt af to eller flere ligninger med en eller flere ukendte.

Læs også:Hvad er forholdet mellem matricer og lineære systemer?

Lineære systemer.

lineær ligning

Arbejdet med ligninger findes på grund af skal finde ukendte ukendte værdier. Vi kalder det en ligning, når vi har et algebraisk udtryk med lighed, og det klassificeres som lineært, når den største eksponent for dets ukendte er 1, som vist i de følgende eksempler:

2x + y = 7 → lineær ligning med to ukendte

a + 4 = -3 → lineær ligning med en ukendt

Generelt kan en lineær ligning beskrives ved:

Det₁x₁ + den₂x₂ + a3x3... + a_ingenx_ingen = c

Vi kender som et ligningssystem, når der er mere end en lineær ligning. Vi starter med lineære systemer med to ukendte.

Løsning af lineære systemer

• Lineære systemer med to 1. graders ligninger og to ukendte

For at løse et system med to ligninger og to ukendte er der flere metoder, de tre bedst kendte er:

• sammenligningsmetode
• tilføjelsesmetode
• substitutionsmetode

Enhver af de tre kan løse et lineært system med to ligninger og to ukendte. Disse metoder er ikke så effektive til systemer med flere ligninger, da der er andre specifikke metoder til at løse dem.

• Udskiftningsmetode

Udskiftningsmetoden består af isoler en af ​​de ukendte i en af ​​ligningerne og udfør substitutionen i den anden ligning.

Eksempel:

1. trin: isoler en af ​​de ukendte.

Vi kalder I den første ligning og II den anden ligning. Analyser de to, lad os vælg det ukendte, der er nemmest at isolere. Bemærk, at i ligning I → x + 2y = 5, x har ingen koefficient, hvilket gør det lettere at isolere, så vi omskriver ligning, jeg kan lide dette:

I → x + 2y = 5

I → x = 5 - 2y

2. trin: erstatte I i II.

Nu hvor vi har ligning I med x alene, i ligning II, kan vi erstatte x med 5 - 2y.

II → 3x - 5y = 4

Udskiftning af x med 5 - 2y:

3 (5 - 2 år) - 5 år = 4

Nu hvor ligningen kun har en ukendt, er det muligt at løse den for at finde værdien af ​​y.

Når vi kender værdien af ​​y, finder vi værdien af ​​x ved at erstatte værdien af ​​y i ligning I.

I → x = 5 - 2y

x = 5 - 2 · 1

x = 5 - 2

x = 3

Så løsningen på systemet er S = {3,1}.

• Sammenligningsmetode

Sammenligningsmetoden består af isoler et ukendt i de to ligninger og udlign disse værdier.

Eksempel:

1. trin: lad jeg være den første ligning og II den anden, lad os isolere en af ​​de ukendte i I og II. Når vi vælger at isolere det ukendte x, skal vi:

2. trin: lig de to nye ligninger, da x = x.

3. trin: udskift værdien af ​​y med -2 ​​i en af ​​ligningerne.

x = -4 - 3 år

x = -4 - 3 (-2)

x = -4 + 6

x = 2

Så løsningen på dette system er sættet S = {2, -2}.

Se også: Hvad er forskellene mellem funktion og ligning?

• tilføjelsesmetode

Tilsætningsmetoden består i at udføre multiplikationen af ​​alle termerne for en af ​​ligningerne på en sådan måde, at når tilføje ligning I til ligning II, en af ​​dens ukendte er lig med nul.

Eksempel:

1. trin: gang en af ​​ligningerne, så koefficienterne er modsatte.

Bemærk, at hvis vi multiplicerer ligning II med 2, har vi 4y i ligning II og -4y i ligning I, og at ved vi tilføjer I + II, vi får 0y, så lad os multiplicere alle termerne i ligning II med 2, så dette ske.

I → 5x - 4y = -5

2 · II → 2x + 4y = 26

2. trin: udfør summen I + 2 · II.

3. trin: udskift værdien af ​​x = 3 i en af ​​ligningerne.

• Lineære systemer med tre 1. graders ligninger og tre ukendte

Når systemet har tre ukendte, vedtager vi andre løsningsmetoder. Alle disse metoder relaterer koefficienter til matricer, og de mest anvendte metoder er Crammers regel eller skalering. Til opløsningen i begge metoder er det nødvendigt matrixrepræsentationen af ​​systemet, selv 2x2-systemet kan repræsenteres ved hjælp af en matrix. Der er to mulige repræsentationer, den komplette matrix og den ufuldstændige matrix:

Eksempel:

Systemet 

Kan repræsenteres af fuld matrix

Og for ufuldstændig matrix

• Crammer's Rule

For at finde løsninger til et 3x3-system med ukendte x, y og z ved hjælp af Crammer's regel, er det nødvendigt at beregne determinanten for den ufuldstændige matrix og dens variationer. Så vi skal:

D → determinant for systemets ufuldstændige matrix.

D_x → determinant for systemets ufuldstændige matrix, der erstatter kolonnen x med kolonnen med uafhængige udtryk.

D_y → determinant for systemets ufuldstændige matrix, der erstatter kolonnen y med kolonnen med uafhængige udtryk.

D_z → determinant for systemets ufuldstændige matrix, der erstatter kolonnen z med kolonnen med uafhængige udtryk.

Så for at finde værdien af ​​dine ukendte skal vi først beregne determinant D, D_x, D_y tilknyttet systemet.

Eksempel:

1. trin: beregne D.

2. trin: beregne D_x.

3. trin: så kan vi finde værdien af ​​x, fordi:

4. trin: beregne D_y.

5. trin: så kan vi beregne værdien af ​​y:

6. trin: nu hvor vi kender værdien af ​​x og y, kan vi i begge linjer finde værdien af ​​z ved at erstatte værdien af ​​x og y og isolere z. En anden mulighed er at beregne D_z.

Udskiftning af x = 0 og y = 2 i den første ligning:

2x + y - z = 3

2 · 0 + 2 - z = 3

0 + 2 - z = 3

-z = 3 - 2

-z = -1 (-1)

 z = -1

Derfor er systemløsningen bud (0,2, -1).

Også adgang: Problemløsning ved hjælp af ligningssystemer

• skalering

En anden metode til løsning af lineære systemer er skalering, hvor vi kun bruger den komplette matrix og operationer mellem linjerne for at isolere deres ukendte. Lad os skalere systemet nedenfor.

1. trin: skriv den komplette matrix, der repræsenterer systemet.

være L₁, L₂ og L₃ henholdsvis linierne 1, 2 og 3 i matrixen udfører vi operationer mellem L₁ og L₂ og L₁ og L₃, så resultatet gør vilkårene i den første kolonne i anden og tredje række lig med nul.

Når vi analyserer matrixens anden linje, skal vi erstatte den med resultatet af L2 → -2 · L1 + L2 for at nulstille udtrykket a21.

Det₂₁ = -2 · 1 + 2 = 0

Det₂₂ = -2 · 2 + 1 = -3

Det₂₃ = -2 · (-3) + 1 = 7

Det₂₄ =-2 · 10 + 3 = -17

Så L₂ vil være 0-3 7-17.

Når vi analyserer matrixens tredje række, skal vi erstatte den med resultatet af L3 → 3L1 + L._2, for at nulstille udtrykket til_31.

Det₃₁ = 3 · 1 – 3 = 0

Det₃₂ = 3 · 2 + 2 = 8

Det₃₃ = 3 · (-3) +1 = -8

Det₃₄ = 3 · 10 – 6 = 24

Så L₃ vil være 0 8-8 24.

Bemærk, at alle er delelige med 8, så L-linjen₃ hold det enkelt, lad os opdele det med 8.

L₃ → L₃ : 8 bliver: 0 1-1 3.

Så den nye matrix i den skalerede ligning vil være:

Nu er målet at nulstille kolonne y i tredje række, vi udfører operationer mellem L₂ og L₃, med det formål at nulstille den anden kolonne i en af ​​dem.

Vi erstatter L3 med L3 → L₂ + 3L₃.

Det₃₁ = 0 + 3 · 0 = 0

Det₃₂ = -3 + 3 · 1 = 0

Det₃₃ = 7 + 3 · (-1) = 4

Det₃₄ = -17 + 3 · 3 = -8

Så L₃ vil være: 0 0 4-8.

Den nye skalerede matrix vil være:

Når vi nu repræsenterer denne matrix som et system igen ved at tilføje x, y og z til kolonnerne, finder vi følgende:

Vi kan derefter finde værdien af ​​hver af de ukendte. Når vi analyserer ligning III, skal vi:

Hvis z = -2, lad os erstatte værdien af ​​z i den anden ligning:

Endelig, i den første ligning, lad os erstatte værdien af ​​y og z for at finde værdien af ​​x.

Se også: 1. grad ulighedssystem - hvordan man løser det?

lineær systemklassificering

Et lineært system er et sæt lineære ligninger, som kan have flere ukendte og flere ligninger. Der er flere metoder til at løse det, uanset antallet af ligninger. der er tre vurderinger til et lineært system.

• Bestemt muligt system (SPD): når du har en enkelt løsning.
• Ubestemt muligt system (SPI): når det har uendelige løsninger.
• umuligt system(SI): når der ikke er nogen løsning.

løste øvelser

Spørgsmål 1 (IFG 2019) Overvej summen af ​​målingerne af en base og højden i forhold til den base af en trekant lig med 168 cm og forskellen lig med 24 cm. Det er korrekt at angive, at målingerne af henholdsvis basen og højden i forhold til dette basismål:

a) 72 cm og 96 cm

b) 144 cm og 24 cm

c) 96 cm og 72 cm

d) 24 cm og 144 cm

Løsning

Alternativ C.

Lad h → højde og b → base, så har vi følgende system:

Ved metoden for tilsætning skal vi:

For at finde værdien af ​​h, lad os erstatte b = 96 cm i den første ligning:

b + h = 168

96 + h = 168

h = 168 - 96

h = 72 cm

spørgsmål 2 Den ufuldstændige matrix, der repræsenterer følgende lineære system, er:

Løsning

Alternativ C.

Den ufuldstændige matrix er en, der har koefficienterne x, y og z, så det bliver en 3x3 matrix. Analysering af alternativerne er den, der indeholder 3x3-matrixen med de korrekte tegn, bogstavet C.

Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer

Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm