Invers matrix: hvad er det, hvordan man finder øvelser

Begrebet invers matrix kommer meget tæt på begrebet invers af et tal. Lad os huske det omvendte af et tal ingen er tallet ingen^-1, hvor produktet mellem de to er lig med det neutrale element i multiplikationdet vil sige tallet 1. Allerede den inverse af matrix M er matrix M^-1, hvor produktet M · M^-1er lig identitetsmatrixen I_ingen,hvilket ikke er andet end det neutrale element i matrixmultiplikation.

For at matrixen skal have en invers, skal den være kvadratisk, og derudover skal dens determinant være forskellig fra nul, ellers vil der ikke være nogen invers. For at finde den inverse matrix bruger vi matrixligningen.

Læs også: Trekantet matrix - speciel type firkantet matrix

For at en matrix skal have en invers, skal den være firkantet.

identitetsmatrix

For at forstå, hvad den inverse matrix er, er det først nødvendigt at kende identitetsmatrixen. Vi kender den firkantede matrix som en identitetsmatrix_ingen hvor alle elementer i hoveddiagonalen er lig med 1, og de andre termer er lig med 0.

instagram story viewer

DET identitetsmatrix er det neutrale element af multiplikation mellem matricer., det vil sige givet en hovedkvarter M af ordren n, produktet mellem matrix M og matrix I_ingen er lig matrix M.

M · I_ingen = M

Sådan beregnes den inverse matrix

For at finde den inverse matrix af M er det nødvendigt at løse en matrixligning:

M · M^-1 = Jeg_ingen

Eksempel

Find den inverse matrix af M.

Da vi ikke kender den inverse matrix, lad os repræsentere denne matrix algebraisk:

Vi ved, at produktet mellem disse matricer skal være lig med I₂:

Lad os nu løse matrixligningen:

Det er muligt at adskille problemet i to systemer af ligninger. Den første bruger den første kolonne i matricen M · M^-1 og den første kolonne i identitetsmatricen. Så vi er nødt til at:

For at løse systemet, lad os isolere₂₁ i ligning II og erstatning i ligning I.

Ved at erstatte i ligning I skal vi:

Hvordan finder vi værdien af en₁₁, så finder vi værdien af a₂₁:

At kende værdien af en₂₁ og₁₁, nu finder vi værdien af de andre termer ved at indstille det andet system:

isolering af₂₂ i ligning III skal vi:

3.₁₂ + 1.₂₂= 0

Det₂₂ = - 3.₁₂

Erstatning i ligning IV:

5. plads₁₂ + 2.₂₂=1

5. plads₁₂ + 2 · (- 3.₁₂) = 1

5. plads₁₂ - 6.₁₂ = 1

- a₁₂ = 1 ( – 1)

Det₁₂ = – 1

At kende værdien af en₁₂, finder vi værdien af en₂₂:

Det₂₂ = - 3.₁₂

Det₂₂ = – 3 · ( – 1)

Det₂₂ = 3

Nu hvor vi kender alle vilkårene for matrixen M^-1, er det muligt at repræsentere det:

Læs også: Addition og subtraktion af matricer

Omvendte matrixegenskaber

Der er egenskaber, der er resultatet af at definere en invers matrix.

1. ejendom: omvendt af matrixen M^-1 er lig matrix M. Det omvendte af en invers matrix er altid selve matrixen, dvs. (M^-1)^-1 = M, fordi vi ved, at M^-1 · M = I_ingenderfor M^-1 er den omvendte af M og også M er den omvendte af M^-1.
2. ejendom: det omvendte af en identitetsmatrix er i sig selv: I^-1 = I, fordi produktet af identitetsmatricen i sig selv resulterer i identitetsmatricen, det vil sige jeg_ingen · Jeg_ingen = Jeg_ingen.
3. ejendom: den omvendte af produkt af to matrixerer du er lig med produktet af inverserne:

(M × H)^-1 = M^-1· A^-1.

4. ejendom: en firkantet matrix har invers hvis og kun hvis dens determinant er forskellig fra 0, dvs. det (M) ≠ 0.

Øvelser løst

1) Givet matrix A og matrix B, vel vidende at de er inverser, så er værdien af x + y:

a) 2.

b) 1.

c) 0.

d) -1.

e) -2.

Løsning:

Alternativ d.

Opbygning af ligningen:

A · B = I

Ved den anden kolonne, der svarer til termerne, skal vi:

3x + 5y = 0 → (I)

2x + 4y = 1 → (II)

Isolering af x til I:

Udskiftning i ligning II, vi skal:

Når vi kender værdien af y, finder vi værdien af x:

Lad os nu beregne x + y:

spørgsmål 2

En matrix har kun en invers, når dens determinant er forskellig fra 0. Ser man på matrixen nedenfor, hvad er x-værdier, der gør, at matrixen ikke understøtter invers?