Logaritme er et meget vigtigt redskab, ikke kun for området matematik, da det har anvendelse inden for flere videnskabelige områder, såsom geografi, kemi og computing.
Historisk logaritmen opstår for at lette konti der optrådte ofte i flere videnskabelige områder. John Napier var banebrydende for studiet af logaritmer og formåede at udvikle operationen, der var i stand til at transformere Produkter i sum, opdelinger i subtraktioner og styrker i multiplikationer.
Definition af denne operation over tid formaliserede andre matematikere definitioner og egenskaberderudover den velkendte log-tabel.
Definition af logaritmen
Skitse grafen for logaritmefunktionen (højre) og dens eksponentielle inverse (venstre).
overvej to reelle tal positiv Det og B, med til ≠ 0. logaritmen til B ved basen Det er tallet x hvis og kun hvis, Det hævet til x er lig med antallet B.
Nomenklatur:
→ basen
b → logaritme
x → logaritme
Se eksemplerne:
Når en logaritme har en base lig med 10, kaldes den decimal logaritme. Når du registrerer en decimallog, er det ikke nødvendigt at skrive base 10. Det er aftalt at:
Læs også: Decimal logaritmesystem
Hvordan beregnes en logaritme?
For at beregne en logaritme skal vi kigge efter en nummer, der, når vi hæver basen, resulterer i logaritmen. Hvis vi tager et eksempel på logaritmen på 36 i base 6 i det foregående eksempel, skal vi finde et tal, som når vi hæver base 6, resulterer i 36. ligesom 62 = 36, med svar 2. Lad os se på flere eksempler:
1) Log 1000. For at beregne denne logaritme skal vi finde et tal, der, hævet til 10, er lig med 1000, det vil sige 10x = 1000.
Løsning af den eksponentielle ligning har vi:
10x=1000
10x = 103
x = 3
Derfor,
1. Beregn logaritmen:
Vi skal finde et tal, der til roden af 7 er lig med en fyrrehalvfems. Løsning af ligningen har vi:
Læs mere: Eksponentiel ligning - ligning med ukendt i eksponent
Logaritme eksistens betingelse
Overvej følgende logaritme:
Udtrykket er kun defineret for når basen er større end nul og forskellig fra en, og når basen er større end nul, det vil sige:
a> 0 og a ≠ 0
b> 0
Ejerskab af logaritmer
Se de vigtigste nedenfor. egenskaber af logaritmer. Alle logaritmer, der er citeret her, opfylder eksistensbetingelsen.
Ejendom 1
Produktets logaritme af to faktorer er lig med summen af logaritmerne for disse faktorer.
Ejendom 2
Logaritmen for kvotienten mellem to tal er lig med forskellen mellem disse tals logaritmer.
Ejendom 3
Logaritmen for en magt er lig med at multiplicere eksponenten for den magt med logaritmen af magtens base, hvor vi holder logaritmen.
Ejendom 4
Logaritmen til en rod er lig med det omvendte af indekset for roden ganget med logaritmen, hvor vi også holder basen.
Ejendom 5
Logaritmen for et tal, i en base hævet til en magt, er lig med multiplikationen af den inverse af eksponenten for den base.
Lær mere: Anvendelser afogaritmer: se eksempler
løste øvelser
Spørgsmål 1 - (Fuvest - SP) Hvis x5 = 1000 og b3 = 100, så logaritmen for x i base b er:
A) 0,5
B) 0,9
C) 1.2
D) 1.5
E) 2.0
Opløsning
Da tallene 1000 og 100 kan skrives i base 10, har vi:
Ved at erstatte logaritmen af x i base b og anvende definitionen har vi:
spørgsmål 2 - (Enem) Hydrogenpotentialet (pH) i en opløsning er defineret som det indeks, der angiver dens surhed, neutralitet eller alkalinitet. Det findes som følger:
bliver H+ koncentrationen af brintioner i denne opløsning. PH i en opløsning, hvor H+ = 1,0 ·10-9, é:
Opløsning:
Udskiftning af H-værdien+ i pH-formlen har vi:
Af L.do Robson Luiz
Matematiklærer
