Polygoner: elementer, klassificering, nomenklatur

Polygoner er billeder flade geometri og lukket dannet af lige segmenter. Polygonerne er opdelt i to grupper, konveks og ikke konveks. Når en polygon har alle sine sider lige, og følgelig alle vinkler intern lig, det er en polygon fast. Regelmæssige polygoner kan navngives efter antallet af sider.

Se også: Konstruktion af afgrænsede polygoner

Elementer af en polygon

Polygon er en flad, lukket figur dannet af foreningen af ​​et endeligt antal lige linjesegmenter. Så overvej enhver polygon:

Punkt A, B, C, D, E, F, G og H er hjørner af polygonen og er dannet af mødet mellem segmenterne AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH og HA, kaldet sider af polygonen.

Segmenterne AF, AE, AD og BG er diagonaler af polygonen. (Bemærk, at dette er nogle eksempler på diagonaler, i den forrige polygon har vi flere af disse.) Diagonaler er linjesegmenter, der "forbinder" polygonens hjørner.

Nomenklatur for en polygon

Vi kan navngive polygonerne efter deres antal sider. Se navnet på de vigtigste polygoner i nedenstående tabel.

Antal sider (n)	Nomenklatur
3	trekant
4	firkantet
5	Pentagon
6	Sekskant
7	Heptagon
8	Octagon
9	Enneagon
10	Decagon
11	Undecagon
12	Dodecagon
15	Pentadecagon
20	Icosagon

Bemærk, at det ikke er nødvendigt at dekorere bordet, men at forstå det. Med undtagelse af trekanten og firkanten er orddannelsen:

Antal sider + gono

For eksempel når vi har polygonen af fem sider, husk automatisk præfikset penta plus suffikset gono: Pentagon.

Eksempel

Bestem navnet på følgende polygon:

Antallet af sider på polygonen er syv, så polygonen er en heptagon.

polygon klassificering

Polygoner er klassificeret efter mål for dine vinkler og sider. En polygon siges at være ligesidet, når den har kongruente sider, det vil sige alle sider er ens; og det vil blive kaldt ligevægt, når det har kongruente vinkler, det vil sige alle lige vinkler.

Hvis en polygon er ligesidig og ligevægt, så vil den være en regelmæssig polygon.

I hver regelmæssig polygon er midten den samme afstand fra sidernedet vil sige, det er lige langt fra siderne. Polygonets centrum er også centrum for den cirkel, der er indskrevet i polygonen, dvs. omkreds som er "inde" i omkredsen.

Læs mere: Polygon lighed: se, hvad betingelserne er

Summen af ​​de indvendige vinkler på en polygon

Vær den_jeg en indvendig vinkel af en almindelig n-sidet polygon, repræsenterer vi summen af ​​disse indvendige vinkler med S_jeg.

Summen af ​​de interne vinkler er således givet ved:

s_jeg = (n - 2) · 180 °

For at beregne værdien af ​​hver indre vinkel skal du bare tage summen af ​​de indre vinkler og dele med antallet af sider, dvs.

Det_jeg = s_jeg
ingen

Eksempel 1

Bestem summen af ​​de indvendige vinkler og derefter målingen af ​​hver indvendige vinkel på en ikosagon.

Vi ved, at en icosagon har tyve sider, så n = 20. Udskiftning i forholdet har vi:

s_jeg = (n - 2) · 180 °

s_jeg = (20 - 2) · 180°

s_jeg = 18 · 180°

s_jeg = 3240°

Nu, for at bestemme værdien af ​​hver intern vinkel, skal du bare dividere den værdi, der findes med antallet af sider:

Det_jeg = 3240°
20

Det_jeg = 162°

Eksempel 2

Summen af ​​de indvendige vinkler af en almindelig polygon er 720 °, find polygonen.

Udskiftning af sætningsoplysningerne i formlen har vi:

720 ° = (n - 2) · 180 °

720 ° = 180n - 360 °

180n = 720 ° + 360 °

180n = 1080 °

n = 1080°
180°

n = 6 sider

Således er den ønskede polygon sekskanten.

Summen af ​​en polygons udvendige vinkler

Summen af ​​en polygons udvendige vinkler er altid lig med 360 °.

s_og = 360°

Det_og = s_og
ingen

Det_og = 360°
ingen

Polygon diagonaler

Overvej en n-sidet polygon. For at bestemme antallet af diagonaler (d) bruger vi følgende forhold:

d = n · (n - 3)
2

Eksempel

Bestem antallet af diagonaler i en femkant og graf dem.

Vi ved, at en femkant har fem sider, så n = 5. Ved at erstatte udtrykket skal vi:

d = 5 · (5 - 3)
2

d = 5 · 2
2

d = 5

Areal og omkreds af polygoner

O omkreds af polygoner er defineret af sum fra alle sider. Arealet af en polygon beregnes ved at opdele polygonen i figurer, der er lettere at beregne arealet, såsom trekanten og firkanten.

DET_Δ = base · højde
2

DET_firkant = bund · højde

Eksempel

Bestem et matematisk udtryk, der repræsenterer området for en almindelig sekskant.

Opløsning:

Overvej oprindeligt en regelmæssig sekskant og alle de lige linjesegmenter, der forbinder polygonens centrum til hvert toppunkt. Dermed:

Bemærk, at på grund af det faktum, at sekskanten er regelmæssig, når vi deler den, finder vi seks trekanter ligesid, så sekskantens areal er seks gange arealet af den ligesidede trekant, det vil sige:

DET_sekskant = 6 · A_Δ

DET_sekskant = 6 · l² · √3
4

DET_sekskant = 3 · l² · √3
2

DET_sekskant = 3 · l²·√3
2

Læs også:ligesidede trekantareal

Øvelser løst

Spørgsmål 1 - (Enem) En pool er formet som en almindelig polygon, hvis indre vinkel er tre og en halv gange den ydre vinkel. Hvad er summen af ​​polygonets indvendige vinkler, hvis form er den samme som denne pool?

a) 1800 °

b) 1620

c) 1440 °

d) 1260 °

e) 1080 °

Opløsning

Da vi ikke kender antallet af sider af polygonen, lad os forestille os bare en af ​​hjørnerne på denne polygon.

Fra billedet kan vi se det:

Det_jeg + den_og = 180 ° (I)

Fra udsagnet har vi det:

Det_jeg = 3,5 · a_og (II)

Ved at erstatte ligning (II) i ligning (I) bliver vi nødt til at:

3.5 · a_og + den_og = 180°

4,5 · a_og = 180°

Det_og = 180°
4,5

Det_og = 40°

Vi ved dog, at en indvendig vinkel er opdelingen på 360 ° med antallet af sider på polygonen. Dermed:

Det_og = 360°
ingen

40° = 360°
ingen

40n = 360 °

n = 360°
40°

n = 9

Derfor er summen af ​​poolens indre vinkler:

s_jeg = (n - 2) · 180 °

s_jeg = (9 - 2) · 180°

s_jeg = 7 · 180°

s_jeg = 1260°

af Robson Luiz
Matematiklærer