Eksponentialligning: hvad de er, og hvordan man løser (med eksempler)

protection click fraud

En ligning er eksponentiel, når den ukendte (ukendte værdi) er i eksponenten af en potens. En matematisk sætning, der involverer lighed mellem to led, hvor det ukendte optræder i mindst én eksponent, kaldes således en eksponentiel ligning.

En potens er resultatet af produktet af dens base i sig selv, så mange gange som bestemt af eksponenten.

I en eksponentielligning bestemmer vi, hvor mange faktorer der ganges, det vil sige hvor mange gange basen ganges, for at opnå et bestemt resultat.

Definition af eksponentialligning:

startstil matematik størrelse 18px lige b til styrken af lige x er lig med lige til slut stil

Hvor:

b er basen;
x er eksponenten (ukendt);
a er magten.

På hvilke lige b er ikke lig med 1 lige mellemrum og lige b større end 0 det er lige en ikke lig 0 .

Eksempel på en eksponentiel ligning:

Den ukendte variabel er i eksponenten. Vi skal bestemme, hvor mange gange 2 ganges for at resultere i 8. Ligesom 2. 2. 2 = 8, x = 3, da 2 skal ganges tre gange for at opnå 8 som resultat.

Sådan løses eksponentialligninger

Eksponentialligninger kan skrives på forskellige måder og for at løse dem vil vi bruge lige potenser med lige grundtal, som også skal have de samme eksponenter.

instagram story viewer

Da den eksponentielle funktion er injektiv, har vi:

lige b i potensen af lige x med 1 sænket ende af eksponentialet lig med lige b i potensen af lige x med 2 sænket ende af eksponentielt mellemrum dobbelt pil venstre og højre mellemrum lige x med 1 sænket er lig med lige x med 2 abonneret

Det betyder, at to potenser med samme grundtal vil være ens, hvis og kun hvis deres eksponenter også er ens.

En strategi til løsning af eksponentielle ligninger er således udligne magtgrundlaget. Når baserne er de samme, kan vi eliminere dem og sammenligne eksponenterne.

For at udligne potensgrundlaget i en eksponentialligning bruger vi matematiske værktøjer som faktorisering og potenseringsegenskaber.

Eksempler på løsning af eksponentialligninger

Eksempel 1
2 i potensen af lige x lig med 64

Det er en eksponentiel ligning, da sætningen involverer en lighed (ligning), og den ukendte variabel x er i eksponenten (eksponentiel).

For at bestemme værdien af det ukendte x, sætter vi lighedstegn mellem potensernes grundlag ved at bruge faktoriseringen på 64.

64 = 2. 2. 2. 2. 2. 2 eller 2 i potens 6

Substituerer i ligningen:

2 i potensen af lige x er lig med 2 i potensen af 6

Vi ser bort fra baserne og efterlader kun lighed mellem eksponenterne.

x = 6

Således er x = 6 resultatet af ligningen.

Eksempel 2
9 i potensen af lige x plus 1 ende af eksponentialet lig med 81

Vi sidestiller baserne ved hjælp af faktorisering.

9 = 3. 3 =
81 = 3. 3. 3. 3 =

Substituerer i ligningen:

åbne parenteser 3 kvadreret lukke parenteser i potensen x plus 1 ende af eksponentialet lig med 3 i potensen 4

Ved at bruge potensegenskaben multiplicerer vi eksponenterne på venstre side.

3 i potensen af 2 x plus 2 ende af eksponentialet lig med 3 i potensen af 4

Med baserne lige, kan vi kassere dem og lig med eksponenterne.

2 lige x plus 2 er lig med 4 2 lige x er lig med 4 minus 2 2 lige x er lig med 2 lige x er lig med 2 over 2 er lig med 1

Således er x = 1 resultatet af ligningen.

Eksempel 3

0 komma 75 i potensen af lige x lig med 9 over 16 mellemrum

Vi omdanner basen 0,75 til en centesimal brøk.

åben parentes 75 over 100 luk parentes i potensen af lige x lig med 9 over 16 mellemrum

Vi forenkler den centesimale fraktion.

åben parentes 3 over 4 luk parentes i potensen af lige x lig med 9 over 16 mellemrum

Vi faktor 9 og 16.

åben parentes 3 over 4 luk parentes i potensen af lige x lig med 3 i anden i anden

Ved at ligne grundlerne har vi x = 2.

åben parentes 3 over 4 luk parentes til kvadratpotensen x lig med åbne parentes 3 over 4 luk parentes i anden

x = 2

Eksempel 4

Vi forvandler roden til en magt.

4 i potensen af x lig med 32 i potensen af 1 tredje ende af eksponentialet

Vi faktoriserer magtgrundlaget.

åbne parenteser 2 kvadratiske lukke parenteser i potensen x lig med åbne parenteser 2 i potensen 5 lukke parenteser i potensen 1 tredje ende af eksponential

Ved at gange eksponenterne er vi lig med baserne.

2 i potens af 2 x ende af eksponentialet lig med 2 i potens af 5 over 3 ende af eksponential

Derfor skal vi:

2 lige x er lig med 5 over 3 lige x er lig med tæller 5 over nævner 2,3 slutningen af brøk er lig med 5 over 6

Eksempel 5

Factoring 25

åbne parenteser 5 i anden kvadrat Luk parenteser i potensen af lige x minus 6,5 i potensen af lige x plus 5 er lig med 0

Vi omskriver potensen af 5² til x. Ændring af rækkefølgen af eksponenter.

åben parentes 5 i potens af x luk parentes i anden potens minus 6,5 i potens af lige x plus 5 er lig med 0

Vi bruger en hjælpevariabel, som vi vil kalde y.

5 i potensen af lige x er lig med lige y (behold denne ligning, vi bruger den senere).

Substituerer i den foregående ligning.

lige y i kvadrat minus 6. lige y plus 5 er lig 0 lige y i kvadrat minus 6 lige y plus 5 er lig 0

Når vi løser den andengradsligning, har vi:

stigning er lig med b i anden kvadrat minus 4. Det. c stigning er lig venstre parentes minus 6 højre parentes i anden kvadrat minus 4.1.5 trin er lig 36 minus 20 trin er lig 16

lige y med 1 sænket er lig med tæller minus lige b plus kvadratroden af stigning over nævner 2. lige til slutningen af den lige brøk y med 1 underskrift lig med tæller minus venstre parentes minus 6 højre parentes plus kvadratroden af 16 over nævner 2.1 slutningen af lige brøk y med 1 underskrift lig med tæller 6 plus 4 over nævner 2 slutning af brøk lig med 10 over 2 lig med 5

lige y med 2 sænket er lig med tæller minus lige b minus kvadratrod af stigning over nævner 2. lige til slutningen af brøk lige y med 2 sænket lig med tæller 6 minus 4 over nævner 2 slutning af brøk lig med 2 over 2 lig med 1

Løsningssættet for andengradsligningen er {1, 5}, men dette er ikke løsningen til eksponentialligningen. Vi skal gå tilbage til variablen x vha 5 i potensen af lige x er lig med lige y.