sum og produkt Det er en metode, der bruges til at finde løsninger på en ligning. Vi bruger summen og produktet som en metode til at beregne rødderne af en 2. grads ligning, af typen ax² + bx + c = 0.
Dette er en interessant metode, når løsningerne af ligningen er hele tal. I tilfælde hvor løsningerne ikke er heltal, kan det være ret kompliceret at bruge summen og produktet, med andre nemmere metoder til at finde ligningens løsninger.
Læs også: Bhaskara - den bedst kendte formel til løsning af andengradsligninger
Opsummering om sum og produkt
- Summen og produktet er en af de metoder, der bruges til at finde løsningerne af en komplet andengradsligning.
- Ved summen og produktet, givet ligningen for 2. grads ax² + bx + c = 0, har vi:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
- x1 det er x2 er løsningerne af andengradsligningen.
- a, b og c er koefficienterne for 2. grads ligningen.
Hvad er sum og produkt?
Summen og produktet er en af de metoder, vi kan bruge til at finde løsningerne til en ligning
. Brugt i 2. grads ligninger kan summen og produktet være en mere praktisk metode til at finde løsningerne af ligning, fordi den består i at lede efter de tal, der opfylder summen og produktformlen for en given ligning.Sum og produktformel
I en andengradsligning af typen ax² + bx + c = 0, med løsninger lig med x1 og x2, efter sum og produkt har vi:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
Hvordan beregner man rødder ved hjælp af sum og produkt?
For at finde løsningerne leder vi først efter de heltal, hvis produkt er lig med \(\frac{c}{a}\).
Vi ved, at løsningerne af ligningen kan være positive eller negative:
- Positivt produkt og positiv sum: begge rødder er positive.
- Positivt produkt og negativ sum: begge rødder er negative.
- Negativt produkt og positiv sum: den ene rod er positiv og den anden er negativ, og den med det største modul er positiv.
- Negativt produkt og negativ sum: den ene rod er positiv og den anden er negativ, og den med det største modul er negativ.
Senere, efter at have listet alle de produkter, der opfylder ligningen, analyserer vi, hvilket der opfylder ligningen. ligning af summen, det vil sige, hvad er de to tal, der opfylder ligningen for produktet og summen samtidigt.
Eksempel 1:
Find løsningerne til ligningen:
\(x²-5x+6=0\)
Først erstatter vi summen og produktformlen. Vi har, at a = 1, b = -5 og c = 6:
\(x_1+x_2=5\)
\(x_1\cdot x_2=6\)
Da summen og produktet er positive, er rødderne positive. Ved at analysere produktet ved vi, at:
\(1\ \cdot6\ =\ 6\ \)
\(2\cdot3\ =\ 6\)
Nu vil vi kontrollere, hvilket af disse resultater har en sum lig med 5, hvilket i dette tilfælde er:
\(2+3=5\)
Så løsningerne af denne ligning er \(x_1=2\ og\ x_2=3\).
Eksempel 2:
Find løsningerne til ligningen:
\(x^2+2x-24=0\ \)
Først erstatter vi summen og produktformlen. Vi har a = 1, b = 2 og c = -24.
\(x_1+x_2=-\ 2\)
\(x_1\cdot x_2=-\ 24\)
Da summen og produktet er negative, har rødderne modsatte fortegn, og den med det største modul er negativ. Ved at analysere produktet ved vi, at:
\(1\cdot(-24)=-24\)
\(2\cdot\venstre(-12\højre)=-24\)
\(3\cdot\venstre(-8\højre)=-24\)
\(4\cdot\venstre(-6\højre)=-24\)
Lad os nu tjekke, hvilket af disse resultater, der har en sum lig med -2, som i dette tilfælde er:
\(4+\venstre(-6\højre)=-2\)
Så løsningerne af denne ligning er \(x_1=4\ og\ x_2=-6\) .
Læs også: Sådan løses en ufuldstændig andengradsligning
Løste øvelser om sum og produkt
Spørgsmål 1
være y det er z rødderne til ligning 4x2-3x-1=0, værdien af 4(y+4)(z+4) é:
A) 75
B) 64
C) 32
D) 18
E) 16
Løsning:
Alternativ A
Beregning efter sum og produkt:
\(y+z=\frac{3}{4}\)
\(y\cdot z=-\frac{1}{4}\)
Så vi skal:
\(4\venstre (y+4\højre)\venstre (z+4\højre)=4(yz+4y+4z+16)\)
\(4\venstre (y+4\højre)\venstre (z+4\højre)=4\venstre(-\frac{1}{4}+4\venstre (y+z\højre)+16\højre )\)
\(4\venstre (y+4\højre)\venstre (z+4\højre)=4\venstre(-\frac{1}{4}+4\cdot\frac{3}{4}+16\ højre)\)
\(4\venstre (y+4\højre)\venstre (z+4\højre)=4\venstre(-\frac{1}{4}+3+16\højre)\)
\(4\venstre (y+4\højre)\venstre (z+4\højre)=4\venstre(-\frac{1}{4}+19\højre)\)
\(4\venstre (y+4\højre)\venstre (z+4\højre)=4\venstre(\frac{76-1}{4}\højre)\)
\(4\venstre (y+4\højre)\venstre (z+4\højre)=4\cdot\frac{75}{4}\)
\(4\venstre (y+4\højre)\venstre (z+4\højre)=75\)
spørgsmål 2
I betragtning af ligningen 2x2 + 8x + 6 = 0, lad S være summen af rødderne af denne ligning og P være produktet af ligningens rødder, derefter værdien af operationen (S - P)2 é:
A) 36
B) 49
C) 64
D) 81
E) 100
Løsning:
Alternativ B
Beregning efter sum og produkt:
\(S=x_1+x_2=-4\)
\(P\ =\ x_1\cdot x_2=3\)
Så vi skal:
\(\venstre(-4-3\højre)^2=\venstre(-7\højre)^2=49\)
Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-e-produto.htm