sum og produkt Det er en metode, der bruges til at finde løsninger på en ligning. Vi bruger summen og produktet som en metode til at beregne rødderne af en 2. grads ligning, af typen ax² + bx + c = 0.
Dette er en interessant metode, når løsningerne af ligningen er hele tal. I tilfælde hvor løsningerne ikke er heltal, kan det være ret kompliceret at bruge summen og produktet, med andre nemmere metoder til at finde ligningens løsninger.
Læs også: Bhaskara - den bedst kendte formel til løsning af andengradsligninger
Emner i denne artikel
- 1 - Opsummering om sum og produkt
- 2 - Hvad er summen og produktet?
- 3 - Sum og produktformel
- 4 - Hvordan beregner man rødderne ved hjælp af sum og produkt?
- 5 - Løste øvelser om sum og produkt
Opsummering om sum og produkt
- Summen og produktet er en af de metoder, der bruges til at finde løsningerne af en komplet andengradsligning.
- Ved summen og produktet, givet ligningen for 2. grads ax² + bx + c = 0, har vi:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
- x1 det er x2 er løsningerne af andengradsligningen.
- a, b og c er koefficienterne for 2. grads ligningen.
Hvad er sum og produkt?
Summen og produktet er en af de metoder, vi kan bruge til at finde løsningerne til en ligning. Brugt i 2. grads ligninger kan summen og produktet være en mere praktisk metode til at finde løsningerne af ligning, fordi den består i at lede efter de tal, der opfylder summen og produktformlen for en given ligning.
Sum og produktformel
I en andengradsligning af typen ax² + bx + c = 0, med løsninger lig med x1 og x2, efter sum og produkt har vi:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
Stop ikke nu... Der er mere efter reklamen ;)
Hvordan beregner man rødder ved hjælp af sum og produkt?
For at finde løsningerne leder vi først efter de heltal, hvis produkt er lig med \(\frac{c}{a}\).
Vi ved, at løsningerne af ligningen kan være positive eller negative:
- Positivt produkt og positiv sum: begge rødder er positive.
- Positivt produkt og negativ sum: begge rødder er negative.
- Negativt produkt og positiv sum: den ene rod er positiv og den anden er negativ, og den med det største modul er positiv.
- Negativt produkt og negativ sum: den ene rod er positiv og den anden er negativ, og den med det største modul er negativ.
Senere, efter at have listet alle de produkter, der opfylder ligningen, analyserer vi, hvilket der opfylder ligningen. ligning af summen, det vil sige, hvad er de to tal, der opfylder ligningen for produktet og summen samtidigt.
Eksempel 1:
Find løsningerne til ligningen:
\(x²-5x+6=0\)
Først erstatter vi summen og produktformlen. Vi har, at a = 1, b = -5 og c = 6:
\(x_1+x_2=5\)
\(x_1\cdot x_2=6\)
Da summen og produktet er positive, er rødderne positive. Ved at analysere produktet ved vi, at:
\(1\ \cdot6\ =\ 6\ \)
\(2\cdot3\ =\ 6\)
Nu vil vi kontrollere, hvilket af disse resultater har en sum lig med 5, hvilket i dette tilfælde er:
\(2+3=5\)
Så løsningerne af denne ligning er \(x_1=2\ og\ x_2=3\).
Eksempel 2:
Find løsningerne til ligningen:
\(x^2+2x-24=0\ \)
Først erstatter vi summen og produktformlen. Vi har a = 1, b = 2 og c = -24.
\(x_1+x_2=-\ 2\)
\(x_1\cdot x_2=-\ 24\)
Da summen og produktet er negative, har rødderne modsatte fortegn, og den med det største modul er negativ. Ved at analysere produktet ved vi, at:
\(1\cdot(-24)=-24\)
\(2\cdot\venstre(-12\højre)=-24\)
\(3\cdot\venstre(-8\højre)=-24\)
\(4\cdot\venstre(-6\højre)=-24\)
Lad os nu tjekke, hvilket af disse resultater, der har en sum lig med -2, som i dette tilfælde er:
\(4+\venstre(-6\højre)=-2\)
Så løsningerne af denne ligning er \(x_1=4\ og\ x_2=-6\) .
Læs også: Sådan løses en ufuldstændig andengradsligning
Løste øvelser om sum og produkt
Spørgsmål 1
være y det er z rødderne til ligning 4x2-3x-1=0, værdien af 4(y+4)(z+4) é:
A) 75
B) 64
C) 32
D) 18
E) 16
Løsning:
Alternativ A
Beregning efter sum og produkt:
\(y+z=\frac{3}{4}\)
\(y\cdot z=-\frac{1}{4}\)
Så vi skal:
\(4\venstre (y+4\højre)\venstre (z+4\højre)=4(yz+4y+4z+16)\)
\(4\venstre (y+4\højre)\venstre (z+4\højre)=4\venstre(-\frac{1}{4}+4\venstre (y+z\højre)+16\højre )\)
\(4\venstre (y+4\højre)\venstre (z+4\højre)=4\venstre(-\frac{1}{4}+4\cdot\frac{3}{4}+16\ højre)\)
\(4\venstre (y+4\højre)\venstre (z+4\højre)=4\venstre(-\frac{1}{4}+3+16\højre)\)
\(4\venstre (y+4\højre)\venstre (z+4\højre)=4\venstre(-\frac{1}{4}+19\højre)\)
\(4\venstre (y+4\højre)\venstre (z+4\højre)=4\venstre(\frac{76-1}{4}\højre)\)
\(4\venstre (y+4\højre)\venstre (z+4\højre)=4\cdot\frac{75}{4}\)
\(4\venstre (y+4\højre)\venstre (z+4\højre)=75\)
spørgsmål 2
I betragtning af ligningen 2x2 + 8x + 6 = 0, lad S være summen af rødderne af denne ligning og P være produktet af ligningens rødder, derefter værdien af operationen (S - P)2 é:
A) 36
B) 49
C) 64
D) 81
E) 100
Løsning:
Alternativ B
Beregning efter sum og produkt:
\(S=x_1+x_2=-4\)
\(P\ =\ x_1\cdot x_2=3\)
Så vi skal:
\(\venstre(-4-3\højre)^2=\venstre(-7\højre)^2=49\)
Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer
Vil du referere til denne tekst i et skole- eller akademisk arbejde? Se:
OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Sum og produkt"; Brasilien skole. Tilgængelig i: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-e-produto.htm. Tilgået den 22. juli 2023.
Klik for at se demonstrationen af Bhaskaras formel, som er baseret på udfyldende kvadratmetoden.
Forstå hvad en 2. grads ligning er. Lær hvordan du beregner dine rødder og Bhaskaras formel. Lær også at løse et system af 2. grads ligninger.
Lær, hvad det er, og hvordan du bruger Bhaskaras formel til at løse andengradsligninger!
Lær hvad lineære systemer er, lær om de vigtigste metoder til løsning af lineære systemer, og lær hvordan du klassificerer et lineært system.
Cringe
Slangen tilpasset fra engelsk bruges til at betegne en person, der ses som tarvelig, skamfuld, forældet og ude af mode.
Neurodiversitet
Et udtryk opfundet af Judy Singer, det bruges til at beskrive de mange forskellige måder, det menneskelige sind opfører sig på.
PL af Fake News
Også kendt som PL2660, er det et lovforslag, der etablerer mekanismer til regulering af sociale netværk i Brasilien.
