EN kugleformet hætte og geometrisk fast stof opnås, når en kugle opsnappes af et plan, der deler den i to geometriske faste stoffer. Den sfæriske hætte betragtes som en rund krop, fordi den ligesom kuglen har en afrundet form. For at beregne arealet og volumenet af en sfærisk hætte bruger vi specifikke formler.
Læs også: Keglestamme — det geometriske faste stof, der dannes af keglens bund, når der laves en sektion parallelt med bunden
Resumé om sfærisk hætte
- Den sfæriske hætte er et geometrisk fast stof opnået, når kuglen er divideret med et plan.
- Hovedelementerne i den sfæriske hætte er kuglens radius, den kugleformede hættes radius og højden af den kugleformede hætte.
- Den sfæriske hætte er ikke et polyeder, men en rund krop.
- Hvis flyet deler kuglen i to, danner den kugleformede hætte en halvkugle.
- Det er muligt at beregne radius af den sfæriske hætte ved hjælp af Pythagoras sætning, organiseret som følger:
\(\venstre (R-h\højre)^2+r^2=R^2\)
- Arealet af den sfæriske hætte kan beregnes ved hjælp af formlen:
\(A=2\pi rh\ \)
- Rumfanget af den sfæriske hætte kan beregnes ved hjælp af følgende formel:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\venstre (3r-h\højre)\)
Hvad er en kugleformet hætte?
kugleformet hætte er det geometriske faststof opnået, når et snit af bold almindelige flad. Når vi skærer kuglen med et plan, deler vi denne kugle i to kugleformede hætter. Når vi deler kuglen i to, er den kugleformede hætte kendt som halvkuglen.
Kugleformede hætteelementer
I en sfærisk hætte er hovedelementerne kuglens radius, den kugleformede hættes radius og højden af den kugleformede hætte.
- R → kuglens radius.
- r → radius af den sfæriske hætte.
- h → højden af den kugleformede hætte.
Er den sfæriske hætte et polyeder eller en rund krop?
Vi kan se, at hætten er et geometrisk fast stof. Da den har en cirkulær base og en afrundet overflade, den sfæriske hætte betragtes som en rund krop, som også er kendt som revolutionens solide. Det er værd at nævne, at polyeder har ansigter dannet af polygoner, hvilket ikke er tilfældet med den sfæriske hætte, som har en base dannet af en cirkel.
Hvordan beregnes radius af den sfæriske hætte?
For at beregne radiuslængden af den sfæriske hætte, det er nødvendigt at kende længden af højden h af den kugleformede hætte og længden af radius R af kuglen, fordi, som vi kan se på det følgende billede, er der et pythagoræisk forhold.
Bemærk at vi har en retvinklet trekant, trekanten OO'B, hvor hypotenusen måler R og benene måler R – h og r. Anvendelse af Pythagoras sætning, Vi skal:
\(\venstre (R-h\højre)^2+r^2=R^2\)
Eksempel:
Hvad er radius af en kugleformet hætte, der har en højde på 2 cm, givet at kuglens radius er 5 cm?
Løsning:
Anvendelse af den pythagoræiske relation:
\(\venstre (R-h\højre)^2+r^2=R^2\)
\(\venstre (5-2\højre)^2+r^2=5^2\)
\(3^2+r^2=25\)
\(9+r^2=25\)
\(r^2=25-9\)
\(r^2=16\)
\(r=\sqrt{16}\)
\(r=4\)
Hvordan beregnes arealet af den sfæriske hætte?
For at beregne arealet af den sfæriske hætte, det er nødvendigt at kende målingen af længden af kuglens radius R og højden h af hætten. Formlen der bruges til at beregne overfladearealet er:
\(A=2\pi Rh\)
- R → kuglens radius.
- h → højden af den kugleformede hætte.
Eksempel:
En sfærisk hætte blev opnået fra en kugle, der har en radius på 6 cm og en højde på 4 cm. Så hvad er overfladearealet af denne sfæriske hætte?
Løsning:
Ved at beregne arealet af den sfæriske hætte har vi:
\(A=2\pi Rh\)
\(A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\ \)
\(A=48\pi\ cm^2\)
Hvordan beregnes volumen af den sfæriske hætte?
Rumfanget af den sfæriske hætte kan beregnes på to måder. Den første formel afhænger af kuglens radius R og højden h:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\venstre (3 R-h\højre)\)
Eksempel:
Hvad er volumen af en kugleformet hætte opnået fra en kugle med en radius på 8 cm, hvis højde af den kugleformede hætte er 6 cm?
Løsning:
Da vi kender værdien af R og h, vil vi bruge den første formel.
R = 8
h = 6
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\venstre (3 R-h\højre)\)
\(V=\frac{\pi6^2}{3}\venstre (3\cdot8-6\right)\)
\(V=\frac{36\pi}{3}\venstre (24-6\højre)\)
\(V=12\pi\venstre (18\højre)\)
\(V=216\pi\ cm^3\)
Den anden form for sfærisk hættevolumen tager højde for den sfæriske hættes radius r og hættens højde h:
\(V=\frac{\pi h}{6}\venstre (3r^2+h^2\højre)\)
Eksempel:
Hvad er rumfanget af en kugleformet hætte, der har en radius på 10 cm og en højde på 4 cm?
Løsning:
I dette tilfælde har vi r = 10 cm og h = 4 cm. Da vi kender værdien af radius af den sfæriske hætte og højden, vil vi bruge den anden formel:
\(V=\frac{\pi h}{6}\venstre (3r^2+h^2\højre)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\venstre (3{\cdot10}^2+4^2\højre)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\venstre (3\cdot100+16\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\venstre (300+16\højre)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\venstre (316\højre)\)
\(V=\frac{1264\pi}{6}\)
\(V\approx210.7\ \pi\ cm³\)
Se også: Pyramidestamme — det geometriske faste stof dannet af bunden af pyramiden, når der tages et tværsnit
Løste øvelser på sfærisk hætte
Spørgsmål 1
(Enem) Til at dekorere et børnefestbord vil en kok bruge en sfærisk melon med en diameter på 10 cm, som vil tjene som en støtte til spyd af forskellige slik. Han vil fjerne en sfærisk hætte fra melonen, som vist på figuren, og for at garantere stabiliteten af denne støtte, gør det svært for melonen at rulle hen over bordet, vil kokken skære, så radius r af den cirkulære snitsektion er mindst minus 3 cm. På den anden side vil chefen gerne have så meget areal som muligt i den region, hvor bolserne bliver opslået.
For at nå alle sine mål skal kokken skære toppen af melonen i en højde h, i centimeter, svarende til
EN) \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)
B)\(10-\sqrt{91}\)
C) 1
D) 4
E) 5
Løsning:
Alternativ C
Vi ved, at kuglens diameter er 10 cm, så dens radius er 5 cm, så OB = 5 cm.
Hvis sektionens radius er præcis 3 cm, har vi:
AO² +AB² = OB²
AO² + 3² = 5²
AO² + 9 = 25
AO² = 25 – 9
AO² = 16
AO = \(\sqrt{16}\)
AO = 4 cm
Derfor:
h + 4 = 5
h = 5 – 4
h = 1
spørgsmål 2
En sfærisk hætte har et areal på 144π cm². Ved at vide, at den har en radius på 9 cm, er højden af denne sfæriske hætte:
A) 8 cm
B) 10 cm
C) 14 cm
D) 16 cm
E) 22 cm
Løsning:
Alternativ A
Vi ved det:
\(A=2\pi Rh\)
\(144\pi=2\pi\cdot9\cdot h\)
\(144\pi=18\pi h\)
\(\frac{144\pi}{18\pi}=h\)
\(8=h\)
Højden er 8 cm.
Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm