I studiet af cirkler er et vigtigt begreb, der skal undersøges, tangentlinier til en cirkel. For at udføre denne undersøgelse er det nødvendigt at forstå de relative positioner for et punkt i forhold til en cirkel. Hvis du ikke har studeret noget relateret til dette emne, skal du tjekke artiklen Relative positioner mellem et punkt og en cirkel.
Når vi observerer et punkt i forhold til en cirkel, kan vi konkludere nogle fakta relateret til tangentlinjer. Det vides, at der er tre relative positioner fra et punkt til en cirkel. For hver position af dette kan vi konkludere noget om den tangentlinje, der passerer gennem dette punkt.
• Peg inden i cirklen: Du kan ikke tegne en tangentlinie gennem dette punkt.
• Punkt, der hører til cirklen: gennem dette punkt kan vi kun have en tangentlinje, da det er tangenspunktet.
• Peg uden for cirklen: fra dette punkt kan vi tegne to linjer, der tangerer cirklen.
Derfor skal vi nødvendigvis bestemme den relative position for det punkt for at bestemme ligningen af linjen, der tangerer til en cirkel gennem et givet punkt. Denne position afhænger af afstanden fra punktet til centrum af cirklen.
Vi skal huske nogle vigtige fakta om analytisk geometri:
• Den korteste afstand fra et punkt til en linje er et segment vinkelret på denne linje;
• Tangentlinjen vil altid være vinkelret på strålen ved dens tangenspunkt.
Ved at relatere de to foregående fakta kan det siges, at afstanden fra tangentlinjen til centrum skal være lig med radius.
Derfor, for at bestemme ligningen af tangentlinjen, skal vi analysere placeringen af det punkt, vi tegner til linjen og således beregne afstanden for den linje, der indeholder dette punkt i forhold til centrum af omkreds.
For en bedre forståelse af alle disse begreber vil vi arbejde med eksempler, der har brug for disse refleksioner.
1) Bestem ligningen (e) for linien / tangenterne til den givne cirkel, tegnet af punktet P.
a) ækv. omkreds: x2+ y2 - 6x - 8y = 0 P (0,0)
Med det kan vi udtrække de nødvendige oplysninger til vores problem:
C (3,4), r = 5.
Vi skal nu finde den relative position af punkt P (0,0):
Derfor er punkt P tangenspunktet.
Lad os bestemme ligningen af den lige linje gennem punkt P.
For faktisk at bestemme linjens ligning er vi stadig nødt til at finde ud af, hvad hældningen på denne linje er. En af de fakta, vi så i begyndelsen af denne artikel, var vinkelret på tangentlinjen til cirkelens radius. Punkt P er et tangenspunkt, så hældningen af linjen, der passerer gennem punkt P og centrum, skal være vinkelret på tangentlinjen. Til dette har vi et forhold mellem vinkelrette skråninger.
Med andre ord er produktet af skråningerne af vinkelrette linjer lig med -1.
For at bestemme hældningen på pc-segmentet skal vi bruge følgende udtryk:
Med det opnår vi ligningen af tangentlinjen:
En anden måde at bestemme værdien af m på ville være at beregne afstanden fra centrum til linjen. Denne afstand er lig med radius. Lad os se:
Når punktet er uden for cirklen, skal vi finde tangenspunktet ved hjælp af afstanden fra centrum af cirklen til tangentlinie, så vi bestemmer værdien af tangentlinjens vinkelkoefficient, som igen bestemmer linjens ligning tangent.
Af Gabriel Alessandro de Oliveira
Uddannet i matematik
Brazil School Team
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tangencia-circunferencia.htm