Ved løsning af 2. graders ligning x2 - 6x + 9 = 0, vi finder to rødder lig med 3. Ved hjælp af nedbrydningsteorien faktoriserer vi polynomet og opnår:
x2 - 6x + 9 = 0 = (x - 3) (x - 3) = (x - 3)2
I dette tilfælde siger vi, at 3 er roden til multiplikation 2 eller dobbeltrod af ligningen.
Således, hvis et faktoriseret polynom resulterer i følgende udtryk:
Det kan vi godt sige:
x = -5 er rod med multiplicitet 3 eller tredobbelt rod af ligningen p (x) = 0
x = -4 er rod med flerhed 2 eller dobbeltrod af ligningen p (x) = 0
x = 2 er rod med flerhed 1 eller simpel rod af ligningen p (x) = 0
Generelt siger vi, at r er en rod af mangfoldigheden n, med n ≥ 1, af ligningen p (x) = 0, hvis:
Bemærk, at p (x) kan deles med (x - r)m og at betingelsen q (r) ≠ 0 betyder, at r ikke er en rod af q (x) og garanterer, at mangfoldigheden af roden r ikke er større end m.
Eksempel 1. Løs x-ligningen4 - 9x3 + 23x2 - 3x - 36 = 0, givet at 3 er en dobbelt rod.
Løsning: Overvej p (x) som det givne polynom. Dermed:
Bemærk, at q (x) opnås ved at dividere p (x) med (x - 3)
Ved at dividere med Briot-Ruffinis praktiske enhed opnår vi:
Efter at have udført divisionen ser vi, at koefficienterne for polynomet q (x) er 1, -3 og -4. Således vil q (x) = 0 være: x2 - 3x - 4 = 0
Lad os løse ligningen ovenfor for at bestemme de andre rødder.
x2 - 3x - 4 = 0
Δ = (-3)2 - 4*1*(-4)
Δ = 25
x = -1 eller x = 4
Derfor er S = {-1, 3, 4}
Eksempel 2. Skriv en algebraisk ligning af minimumsgrad, således at 2 er en dobbeltrod og - 1 er en enkelt rod.
Løsning: Vi skal:
(x - 2) (x - 2) (x - (-1)) = 0
Eller
Af Marcelo Rigonatto
Specialist i statistik og matematisk modellering
Brazil School Team
Polynomer - Matematik - Brasilien skole
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicidade-uma-raiz.htm