Progressions: hvad er de, typer, formler, eksempler

Vi ved hvordan progressioner særlige tilfælde af nummersekvenser. Der er to tilfælde af progression:

• aritmetisk progression

• geometrisk progression

For at være en progression er vi nødt til at analysere karakteristikaene for sekvensen for, om der er det, vi kalder en grund. når progressionen er aritmetik, årsagen er intet mere end en konstant, som vi tilføjer til et udtryk for at finde dets efterfølger i sekvensen; nu, når man arbejder med en progression geometrisk, fornuft har en lignende funktion, kun i dette tilfælde er grund det konstante udtryk, hvormed vi multiplicerer et udtryk i sekvensen for at finde dets efterfølger.

På grund af forudsigelig opførsel for en progression er der specifikke formler til at finde et vilkårligt udtryk i disse sekvenser, og det er også muligt at udvikle en formel for hver af dem (det vil sige en for den aritmetiske progression og en for den geometriske progression) for at beregne summen Fraingen første vilkår for denne progression.

Læs også: Funktioner - hvad er de, og hvad er de til?

Mængden af ​​bønner pr. Høst opfører sig som en geometrisk progression

nummersekvens

For at forstå, hvad progressioner er, skal vi først forstå, hvad de er nummersekvenser. Som navnet antyder, kender vi rækkefølgen a sæt numre, der respekterer en ordre, er veldefineret eller ej. I modsætning til sæt numerics hvor orden ikke betyder noget, i en numerisk rækkefølge er orden essentiel, for eksempel:

Sekvensen (1, 2, 3, 4, 5) er forskellig fra (5, 4, 3, 2, 1), som er forskellig fra sekvensen (1, 5, 4, 3, 2). Selvom elementerne er de samme, da rækkefølgen er forskellig, så har vi forskellige sekvenser.

Eksempler:

Vi kan skrive sekvenser, hvis formationer er lette at se:

a) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → rækkefølge af lige tal mindre end eller lig med 12.

b) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → regressiv rækkefølge med ulige tal fra 17 til 5.

c) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…) → kendt som Fibonacci-sekvens.

d) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 ...) → selvom det ikke er muligt at beskrive denne sekvens som de andre, er det let at forudsige, hvad dens næste vilkår vil være.

I andre tilfælde sekvenserne kan have total tilfældighed i deres værdieralligevel for at være en sekvens, hvad der betyder noget er at have et sæt ordnede værdier.

til 1; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)

b) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)

Så meget som det ikke er muligt at forudsige, hvem de næste vilkår i bogstavet b er, arbejder vi stadig med en efterfølger.

Generelt, strenge er altid repræsenteret i parentes (), på følgende måde:

(Det₁, a₂,Det₃, a₄,Det₅, a₆, a₇, a₈ …) → uendelig rækkefølge

(Det₁, a₂,Det₃, a₄,Det₅, a₆, a₇, a₈... a_ingen) → endelig rækkefølge

I begge har vi følgende repræsentation:

Det₁ → første periode

Det₂ → anden periode

Det₃ → tredje periode

.

.

.

Det_ingen → 9. termin

Observation: Det er meget vigtigt, at dataene er omgivet af parenteser, når de repræsenterer en sekvens. Sekvensnotation forveksles ofte med sætnotation. Et sæt er repræsenteret i seler, og i sættet er rækkefølgen ikke vigtig, hvilket gør hele forskellen i dette tilfælde.

(1, 2, 3, 4, 5) → sekvens

{1, 2, 3, 4, 5} → sæt

Der er særlige tilfælde af sekvens, der er kendt som progressioner.

Se også: Hvad er det grundlæggende princip for optælling?

Hvad er progressioner?

En sekvens defineres som en progression, når den har en regelmæssighed fra en periode til en anden, kendt som grund. Der er to tilfælde af progression, aritmetisk progression og geometrisk progression. For at vide, hvordan man skelner mellem dem, er vi nødt til at forstå, hvad årsagen til en progression er, og hvordan denne årsag interagerer med vilkårene i sekvensen.

Når, fra et udtryk til et andet i sekvensen, har jeg en konstant sum, denne sekvens er defineret som en progression, og i dette tilfælde er det en aritmetisk progression. Denne værdi, som vi konstant tilføjer, er kendt som forholdet. Det andet tilfælde, det vil sige når sekvensen er en geometrisk progression, fra et udtryk til et andet er der en multiplikation med en konstant værdi. Analogt er denne værdi forholdet mellem den geometriske progression.

Eksempler:

a) (1, 4, 7, 10, 13, 16 ...) → bemærk, at vi altid tilføjer 3 fra det ene udtryk til det andet, så vi har en aritmetisk progression af forholdet lig med 3.

b) (1, 10, 100, 1000, 10000 ...) → i dette tilfælde multiplicerer vi altid med 10 fra det ene udtryk til det andet, der har at gøre med en geometrisk progression af forholdet 10.

c) (0, 2, 8, 26…) → i sidstnævnte tilfælde er der kun en sekvens. For at finde den næste sigt multiplicerer vi sigtet med 3 og tilføjer 2. Selv om der er regelmæssighed for at finde de næste udtryk, er det kun en sekvens, ikke en aritmetisk eller geometrisk progression.

aritmetisk progression

Når vi arbejder med nummersekvenser, er de sekvenser, hvor vi kan forudsige deres næste vilkår, ganske tilbagevendende. For at denne sekvens skal klassificeres som en aritmetisk progression, der skal være en grund en. Fra den første periode er den næste periode konstrueret af summen af ​​forrige periode med årsagen r.

Eksempler:

a) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 ...)

Dette er en sekvens, der kan klassificeres som aritmetisk progression, fordi årsagen r = 3 og den første periode er 4.

b) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23 ...)

Denne sekvens er en aritmetisk progression med god grund. r = -5, og dens første periode er 7.

• Betingelser for en PA

I mange tilfælde er vores interesse at finde et bestemt udtryk i progressionen uden at skulle skrive hele sekvensen. At kende værdien af ​​det første udtryk og forholdet, er det muligt at finde værdien af ​​ethvert udtryk i en aritmetisk progression. For at finde udtrykkene for en arimetisk progression bruger vi formlen:

Det_ingen = den₁+ (n - 1) r

Eksempel:

Find den 25. periode af en P.A, hvis forhold er 3, og den første periode er 12.

Data r = 3, den₁ = 12. Vi vil finde det 25. udtryk, det vil sige n = 25.

Det_ingen = den₁+ (n - 1) r

Det₂₅ = 12 + (25 - 1) · 3

Det₂₅ = 12 + 24 · 3

Det₂₅ = 12 + 72

Det₂₅ = 84

• Almindelig periode for en P.A.

Den generelle termformel er en måde at forenkle formlen på et AP-udtryk for at finde en progression sigt hurtigere. Når først det første udtryk og årsagen er kendt, er det tilstrækkeligt i formlen at erstatte et udtryk med en P.A. for at finde den generelle betegnelse for den aritmetiske progression, som kun afhænger af ingen.

Eksempel:

Find det generelle udtryk for en P.A. der har r = 3 og₁ = 2.

Det_ingen = 2 + (n -1) r

Det_ingen = 2 + (n -1) 3

Det_ingen = 2 + 3n - 3

Det_ingen = 2n - 1

Dette er det generelle udtryk for en P.A., der tjener til at finde ethvert udtryk i denne progression.

• Summen af ​​vilkårene for en PA

DET summen af ​​vilkårene for en PA det ville være meget besværligt, hvis det var nødvendigt at finde hvert af dets vilkår og tilføje dem. Der er en formel til beregning af summen af ​​alle ingen første termer af en aritmetisk progression:

Eksempel:

Find summen af ​​alle ulige tal fra 1 til 100.

Vi ved, at ulige tal er en aritmetisk progression af forholdet 2: (1, 3, 5, 7… 99). I denne progression er der 50 udtryk, da halvdelen af ​​tallene er lige fra 1 til 100, og den anden halvdel er ulige.

Derfor er vi nødt til at:

n = 50

Det₁ = 1

Det_ingen = 99

Også adgang: 1. graders funktion - praktisk brug af aritmetisk progression

Geometrisk progression

En streng kan også klassificeres som progression geometrisk (PG). For at en sekvens skal være en geometrisk progression, skal den have en grund, men i dette tilfælde udfører vi den næste term fra den første periode multiplikation af forholdet med forrige periode.

Eksempler:

a) (3, 6, 12, 24, 48 ...) → Geometrisk progression af forhold 2, og dens første sigt er 3.

b) (20, 200, 2000, 20 000 ...) → Geometrisk progression af forholdet 10, og dens første periode er 20.

• PG's løbetid

I en geometrisk progression repræsenterer vi årsagen til brevet hvad. Udtrykket for en geometrisk progression kan findes ved formlen:

Det_ingen = den₁ · hvad^{n - 1}

Eksempel:

Find den 10. periode af en PG, vel vidende om det hvad = 2 og₁ = 5.

Det_ingen = den₁ · hvad^{n - 1}

Det₁₀ = 5 · 2^{10 - 1}

Det₁₀ = 5 · 2⁹

Det₁₀ = 5 · 512

Det₁₀ = 2560

• Generel betegnelse for en PG

Når vi kender det første udtryk og årsagen, er det muligt at generere den generelle termformel ud fra en geometrisk progression, der udelukkende afhænger af værdien af ingen. For at gøre dette skal vi bare erstatte den første periode og forholdet, og vi finder en ligning, der kun afhænger af værdien af ingen.

Ved hjælp af det foregående eksempel, hvor forholdet er 2 og den første periode er 5, er den generelle betegnelse for denne læge:

Det_ingen = den₁ · hvad^{n - 1}

Det_ingen = 5 · 2^{n - 1}

• Summen af ​​vilkårene for en PG

Tilføjelse af alle vilkårene for en progression ville være meget arbejde. I mange tilfælde er det tidskrævende at skrive hele sekvensen for at opnå denne sum. For at lette denne beregning har den geometriske progression en formel, der tjener til at beregne summen af ingen første elementer af en endelig PG:

Eksempel:

Find summen af ​​de første 10 vilkår for GP (1, 2, 4, 8, 16, 32 ...).

Bemærk, at forholdet mellem denne PG er lig med 2.

Det₁ = 1

hvad = 2

ingen = 10

Læs også: Eksponentiel funktion - praktisk anvendelse af geometrisk progression

Øvelser løst

Spørgsmål 1 - En bestemt bakteriekultur observeres i et par dage af forskere. En af dem analyserer væksten i denne befolkning, og han bemærkede, at der den første dag var 100 bakterier; i det andet 300 bakterier; i den tredje 900 bakterier osv. Når vi analyserer denne sekvens, kan vi sige, at det er:

A) en aritmetisk progression af forholdet 200.

B) en geometrisk progression af forholdet 200.

C) en arimetisk progression af grund 3.

D) en geometrisk progression af forholdet 3.

E) en sekvens, men ikke en progression.

Løsning

Alternativ D.

Når vi analyserer sekvensen, har vi ordene:

Bemærk, at 900/300 = 3 samt 300/100 = 3. Derfor arbejder vi med en PG i forholdet 3, da vi multiplicerer med tre fra den første periode.

Spørgsmål 2 - (Enem - PPL) For en nybegynder i løb blev følgende daglige træningsplan fastsat: løb 300 meter på den første dag og øg 200 meter om dagen fra den anden. For at tælle hans præstationer bruger han en chip, der er fastgjort til sin sneaker, til at måle den afstand, der er tilbagelagt under træning. Overvej, at denne chip i sin hukommelse gemmer maksimalt 9,5 km løb / gåtur og skal placeres i begyndelsen af ​​træningen og kasseres efter udnyttelse af pladsen til datareserve. Hvis denne atlet bruger chippen fra den første træningsdag, hvor mange dage i træk vil denne chip være i stand til at gemme kilometertal for den daglige træningsplan?

A) 7

B) 8

C) 9

D) 12

E) 13

Løsning

Alternativ B.

Når vi analyserer situationen, ved vi, at vi har en PA med en årsag på 200 og en indledende afslutning svarende til 300.

Desuden ved vi, at summen S_ingen = 9,5 km = 9500 meter.

Lad os med disse data finde udtrykket a_ingen, hvilket er antallet af kilometer registreret på den sidste lagringsdag.

Det er også værd at huske, at ethvert udtryk a_ingen kan skrives som:

Det_ingen = den₁ + (n - 1)r

I betragtning af ligningen 200n² + 400n - 19000 = 0 kan vi dele alle termer med 200 ved at forenkle ligningen og finde: n² + 2n - 95 = 0.

For delta og Bhaskara skal vi:

a = 1

b = 2

c = -95

Δ = b² - 4ac

Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)

Δ = 4 – 4 · (-95)

Δ = 4 + 380

Δ = 384

Vi ved, at 8,75 svarer til 8 dage og et par timer. I dette tilfælde er antallet af dage, hvor målingen kan udføres, 8.

Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer

Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm