Konvergerende og divergerende geometriske serier

Nogle situationer, der involverer geometriske fremskridt, får særlig opmærksomhed med hensyn til udvikling og løsning. Visse geometriske sekvenser, når de tilføjes, har en tendens til en fast numerisk værdi, dvs. introduktionen af ​​nye udtryk i summen gør når den geometriske serie kommer tættere og tættere på en værdi, kaldes denne type adfærd en geometrisk serie Konvergent. Lad os analysere følgende geometriske progression (4, 4/3, 4/9, 4/27, ...) af grunden q = 1/3, der bestemmer følgende situationer: Y₅ og S₁₀.
Summen af ​​vilkårene for en geometrisk progression

Når antallet af termer stiger, nærmer værdien af ​​summen af ​​termerne i progressionen 6. Vi konkluderer, at summen af ​​sekvensen (4, 4/3, 4/9, 4/27, ...) konvergerer til 6, når nye elementer introduceres. Vi kan demonstrere den generelle situation som følger: 4 + 4/3 + 4/9 + 4/27 +... = 6.
En anden situation, der involverer geometriske progressioner, er Divergent Series, som ikke har tendens til et tal fast som konvergenserne, efterhånden som de øges mere og mere, efterhånden som nye vilkår introduceres til progression. Se PG

(3, 6, 12, 24, 48, ...) i forholdet q = 2, lad os bestemme summen når: n = 10 og n = 15.

Bemærk, at summen steg med antallet af udtryk, S₁₀ = 3069 og S₁₅ = 98301, så vi siger, at serien adskiller sig, den bliver stor, som du vil.
Når vi vender tilbage til studiet af Convergent Series, kan vi bestemme et enkelt udtryk, der udtrykker den værdi, som den geometriske serie nærmer sig, for det vil vi overveje nogle punkter. Lad os antage, at forholdet q antager værdier inden for området ] - 1 og 1 [, det er - 1 Derfor kan vi konkludere, at elementet qn i udtrykket, der bestemmer summen af ​​udtryk for en PG, har en tendens til nul, når antallet af udtryk n øges. På denne måde kan vi overveje qn = 0. Følg demoen:

s_ingen = Det₁(qn – 1) = Det₁(0 – 1) = – Det₁ = Det₁
hvad – 1 q – 1 q – 1 1 – hvad

Så følgende udtryk følger:

 s_ingen = Det₁, –1 1 – hvad

af Mark Noah
Uddannet i matematik
Brazil School Team

Progressions - Matematik - Brasilien skole

Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/series-geometricas-convergentes-divergentes.htm