Determinanter: hvordan man beregner, egenskaber, eksempler

O determinant af en hovedkvarter har flere applikationer i øjeblikket. Vi bruger determinanten til at kontrollere, om tre punkter er justeret i det kartesiske plan, til beregne arealer med trekanter til løsning af lineære systemer, blandt andre applikationer i matematik. Undersøgelsen af ​​determinanter ikke begrænset til matematik, der er nogle anvendelser inden for fysik, såsom studiet af elektriske felter.

Vi beregner kun determinanter for firkantede matricer, det vil sige matricer, hvor antallet af kolonner og antallet af rækker er ens. For at beregne determinanten for en matrix skal vi analysere dens rækkefølge, dvs. hvis den er 1x1, 2x2, 3x3 og så videre, jo højere din ordre er, desto sværere bliver det at finde determinant. Der er dog vigtige metoder til at udføre øvelsen, såsom Sarrus 'styre, bruges til at beregne determinanter for 3x3 matricer.

Læs også: Fremgangsmåde til løsning af et m x n lineært system

Beregning af determinanten for en matrix af rækkefølge 2.

Matrixbestemmende ordre 1

En matrix kaldes rækkefølge 1, når den har nøjagtigt en række og en kolonne. Når dette sker, har matrixen et enkelt element, A'et₁₁. I dette tilfælde falder matrixdeterminanten sammen med sin eneste betegnelse.

A = (a₁₁)

det (A) = | Det₁₁ | = den₁₁

Eksempel:

A = [2]

det (A) = | 2 | = 2

For at beregne determinanter for matricer af orden 1 er det kun nødvendigt at kende deres enkelte element.

Bestemmelser af ordre 2 matricer

Den 2x2 firkantede matrix, også kendt som rækkefølgen 2 matrix, har fire elementer, i dette tilfælde, for at beregne determinanten, er det nødvendigt at vide, hvad hoveddiagonal og sekundær diagonal.

For at beregne determinanten for en ordre 2-matrix beregner viforskel indtaste produktet af vilkårene for hoveddiagonal og vilkårene for sekundær diagonal. Ved hjælp af det algebraiske eksempel, vi byggede, vil det (A) være:

Eksempel:

Matrixbestemmende ordre 3

Rækkefølgen tre matrix er mere besværlig for at opnå den afgørende faktor end de foregående, jo højere rækkefølgen en matrix har, jo vanskeligere vil dette arbejde være. I det er det nødvendigt bruge det, vi kender som Sarrus 'styre.

• Sarrus 'regel

Sarrus 'regel er en metode til beregning af determinanter for matricer af rækkefølge 3. Det er nødvendigt at følge et par trin, idet du er den første dupliker de to første kolonner i slutningen af ​​matrixensom vist i det følgende eksempel.

Lad os gå nu gang vilkårene for hver af de tre diagonaler som er i samme retning som hoveddiagonalen.

Vi vil udføre en lignende proces med den sekundære diagonal og de to andre diagonaler, der er i samme retning som den.

Noter det vilkårene for den sekundære diagonal ledsages altid af minustegnet., det vil sige, at vi altid vil ændre tegnet på resultatet af at multiplicere vilkårene for den sekundære diagonal.

Eksempel:

Se også: Binets sætning - praktisk proces til matrixmultiplikation

Bestemmende egenskaber

• 1. ejendom

Hvis en af ​​matrixens linjer er lig med 0, vil dens determinant være lig med 0.

Eksempel:

• 2. ejendom

Lad A og B være to matricer, det (A · B) = det (A) · det (B).

Eksempel:

Beregning af de separate determinanter skal vi:

det (A) = 2 · (-6) - 5,3
det (A) = -12 - 15 = -27

det (B) = 4 · 1 - 2 · (-2)
det (B) = 4 + 4 = +8

Så det (A) · det (B) = -27 · 8 = -216

Lad os nu beregne det (A · B)

• 3. ejendom

Lad A være en matrix og A 'en ny matrix konstrueret ved at bytte rækkerne af matrix A, derefter det (A') = -det (A), eller det vil sige, at når man vender positionen for en matrixs linjer, vil dens determinant have den samme værdi, men med et tegn udvekslet.

Eksempel:

• 4. ejendom

lige linjer eller proportional gøre matrixdeterminanten lig med 0.

Eksempel:

Bemærk, at i matrix A er udtrykkene i række to dobbelt så store som i række 1.

Også adgang:Anvendelse af matricer i optagelsesprøver

løste øvelser

Spørgsmål 1 - (Vunesp) I betragtning af matricer A og B skal du bestemme værdien af ​​det (A · B):

til 1

b) 6

c) 10

d) 12

e) 14

Løsning

Alternativ E

Vi ved, at det (A · B) = det (A) · det (B):

det (A) = 1 · 4 - 2 · 3 = 4-6 = -2
det (B) = -1 · 1 - 3 · 2 = -1 - 6 = -7

Så vi skal:
det (A · B) = det (A) · det (B)
det (A · B) = -2 (-7) = 14

Spørgsmål 2 - Givet matrix A, hvad skal værdien være x for at det (A) skal være lig med 0?

a) 1/2

b) 1/3

c) 1/9

d) 3
e) 9

Løsning

Alternativ B

Beregning af determinanten for A skal vi:

Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer

Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/determinantes-1.htm