Barycenter af en trekant: hvad det er, og hvordan man beregner det

O barycenterer et af de bemærkelsesværdige punkter i trekant, hvilket igen er en af ​​de enkleste kendte polygoner. Denne geometriske figur studeres bredt, og et af de punkter, der fortjener opmærksomhed, er begrebet barycenter.

Vi kender det som barycenter trekants tyngdepunkt. For at finde det er det nødvendigt at bestemme dets tre medianer samt mødestedet mellem dem. Når trekanten er repræsenteret i Cartesian fly, for at finde barycenteret skal du bare beregne det aritmetiske gennemsnit mellem værdierne x og y for at finde det ordnede par af barycenteret.

Læs også: Hvordan klassificeres trekanter?

Hvad er Barycenter?

Barycenter er et bemærkelsesværdigt punkt i trekanten.

Trekanten har vigtige punkter, kendt som bemærkelsesværdige punkter, og barycenter er en af ​​dem sammen med circumcenter, incenter og orthocenter. Barycenter er trekant tyngdepunkt og er repræsenteret med bogstavet G. Han er placeret på mødet med medianerne i trekanten.

Medianen af ​​en trekant er et segment, der starter ved et hjørne og går til midtpunktet på den side, der er modsat dette hjørne. I enhver trekant er det muligt at tegne de tre medianer, der hver starter fra en af ​​hjørnerne.

Trekant medianer

Når vi tegner de tre medianer samtidigt, mødes de tre på et enkelt punkt. Dette punkt, repræsenteret af G, er barycenteret.

Barycenter (G) er mødestedet for de tre medianer i trekanten.

Barycenter ejendomme

• Ejendom 1: barycenteret er altid et indvendigt punkt i trekanten.

Da medianen altid er et indre segment af trekanten, er det også barycenter uanset dens form.

• Ejendom 2: barycenter opdeler medianen i to dele, hvis forhold er 1: 2.

Ved at analysere trekanten repræsenteret ovenfor har vi det:

Hvordan beregnes barycenteret?

Når repræsenteret på det kartesiske plan, er det muligt at finde koordinaterne til trekantens barycenter. Lad os gøre dette beregne aritmetisk gennemsnit af x-værdier og også af y-værdier.

Repræsentation af trekanten i det kartesiske plan

Bemærk, at hjørnerne er A (x_DETy_DET), B (x_By_B) og C (x_Çy_Ç) for at finde koordinaterne til barycenter G (x_Gy_G), bruger vi formlen:

Se også: Trigonometri i enhver trekant

Øvelser løst

Spørgsmål 1 - Vi kan sige, at trekantens barycenter, hvis hjørner er punkterne A (2,1), B (-3, 5) og C (4,3) er punktet:

A) G (1.3).

B) G (3.1).

C) G (3.3).

D) G (-2, -1).

E) G (-1,3).

Løsning

Alternativ A. For at finde koordinaterne til trekantens barycenter, lad os beregne det aritmetiske gennemsnit mellem x-værdierne i punkterne A, B og C og mellem y-værdierne på de samme punkter.

Således er barycenteret G-punktet (1,3).

Spørgsmål 2 - I en by vil der blive installeret tre telefontårne ​​til at løse problemet med netværket og signalfejl for mobiltelefoner. Det viser sig, at placeringen af ​​disse tårne ​​var planlagt, så byens centrum falder sammen med trekantens barycenter med hjørner ved A, B og C, som er tårnernes placering. For at vælge tårnernes placering blev rådhuset defineret som aksens oprindelse, og byens centrum var placeret ved punkt (1, -1). De sørgede for, at placeringen af ​​punkterne A og B ville være A (12, -6), B (-4, -10). Så hvad skal placeringen af ​​punkt C være?

A) (3.8)
B) (8, -13)
C) (3.8)
D) (-5, 13)
E) (-5, 8)

Løsning

Alternativ D. Vi ved, at G er byens centrum, hvilket er koordinatpunktet (1, -1).

Lad (x, y) være koordinaterne for punkt C, så:

Finder også værdien af ​​y:

På denne måde ankommer vi til C (-5, 13).

Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer

Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/baricentro-um-triangulo.htm