1. og 2. graders ligningssystem

Ligningssystemer er intet andet end strategier, der tillader os løse problemer og situationer, der involverer mere end en variabel og mindst to ligninger. Hvis ligningerne i systemet kun involverer tilføjelse og subtraktion af de ukendte siger vi, at det er en 1. graders ligningssystem. Vi kan løse dette system på to måder gennem grafisk repræsentation eller algebraisk. I algebraisk form har vi to alternativer, metoden til tilføjelse eller fra udskiftning.

I tilfælde af a multiplikation mellem de ukendte eller ganske enkelt, at en af ​​dem fremstår som en eksponentmagt 2, siger vi, at systemet også involverer 2. grads ligninger. For at løse et sådant system er strategierne de samme som nævnt ovenfor, men der kan være flere løsninger i dette tilfælde.

Lad os se på nogle eksempler på løsning af systemer i 1. og 2. grads ligninger:

1. eksempel:

Bemærk, at ligningen i dette eksempel x · y = 15 leverer et produkt blandt de ukendte x og y, så dette er en 2. graders ligning. For at løse det, lad os bruge substitutionsmetode. I den anden ligning isolerer vi x:

2x - 4y = - 14
2x = 4y - 14
x = 4y - 14
2
x = 2y - 7

Nu skal vi erstatte det x = 2y - 7 i den første ligning:

x · y = 15
(2y - 7) · y = 15
2y² - 7y - 15 = 0

For at finde mulige værdier for y, vi bruger Bhaskara's formel:

Δ = b² - 4.a.c
Δ = (– 7)² – 4.2.(– 15)
Δ = 49 + 120
Δ = 169

y = - b ± √Δ​
2. plads

y = – (– 7) ± √169
2.2

y = 7 ± 13
4

y1 = 7 + 13 4 y1 = 20 4 y1 = 5

y2 = 7 – 13 4 y2 = – 6 4 y2 = – 3 2

Nu kan vi erstatte de fundne værdier for y i x · y = 15 for at bestemme værdierne af x:

x1 · Y1 = 15 x1 · 5 = 15 x1 = 15 5 x1 = 3

x2 · Y2 = 15 x2 · (– 3) = 15 2  x2 = 15. (– 2) 3 x2 = – 10

Vi kan sige, at ligningen har to løsninger af typen (x, y), er de: (3, 5) og (– 10, ^{– 3}/₂).

2. eksempel:

For at løse dette system bruger vi tilføjelsesmetode. For at gøre dette skal vi gange den første ligning med – 2. Vores system vil se sådan ud:

(- 2x² + 2x²) + (- 4y² - 3y²) = (- 178 + 150)
0x² - 7y² = - 28
7y² = 28
y² = 28
7
y = ± √4
y₁ = + 2
y₂ = – 2

Nu kan vi erstatte de fundne værdier for y i den første ligning for at opnå værdierne af x:

x² + 2 år1² = 89 x² + 2. (2) ² = 89 x² + 8 = 89 x² = 81 x = ±√81 x1 = + 9 x2 = – 9

x² + 2 år2² = 89 x² + 2. (- 2) ² = 89 x² + 8 = 89 x² = 81 x = ±√81 x3 = + 9 ​x4 = – 9

Vi kan sige, at ligningen har fire løsninger: (9, 2), (– 9, 2), ( 9, – 2) og (– 9, – 2).

3. eksempel:

Når vi løser dette ligningssystem, bruger vi substitutionsmetode. Lad os i den anden ligning isolere x:

2x - 3y = 2
2x = 3y + 2
x = 3y + 2
2
x = 3 år + 1
2

vi vil erstatte x i den første ligning:

x² + 2y² = 1
(^{3 år}/₂ + 1) ² + 2y² = 1
9y² + 3y + 1 + 2y² = 1
4

Vi multiplicerer hele ligningen med 4:

9y² + 12 y + 4 + 8y² = 4
17y² + 12y = 0

For at finde mulige værdier for y, lad os bruge Bhaskara's formel:

Δ = b² - 4.a.c
Δ = 12² – 4.17. 0
Δ = 144
y = - b ± √Δ​
2. plads
y = – 12 ± √144
2.17
y = – 12 ± 12
34

Y1 = – 12 + 12 34 y1 = 0 34 y1 = 0

y2 = – 12 – 12 34 y2 = – 24 34 y2 = – 12 17

Udskiftning af fundne værdier for y i 2x - 3y = 2, kan vi bestemme værdierne for x:

2x - 3 år1 = 2 2x - 3 · 0 = 2 2x - 0 = 2 x = 2 2 x1 = 1

2x - 3 år2 = 2 2x - 3 · (^– 12/17)= 2 2x + 36 = 2  17 2x = 2 – 36 17 2x = - 2 17 x2 = – 1 17

Vi kan sige, at ligningen har to løsninger af typen (x, y), er de: (1, 0) og (^{– 1}/₁₇, ^{– 12}/₁₇).

Af Amanda Gonçalves
Uddannet i matematik

Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistema-equacoes-1-o-2-o-grau.htm