DET modulær ligning er en ligning at i det første eller andet medlem, har vilkår i modulet. Modulet, også kendt som den absolutte værdi, er knyttet til afstanden et tal har til nul. Da vi taler om afstand, er modulets tal altid positivt. At løse modulære ligningsproblemer kræver anvendelse af modulo-definitionen, vi deler ligningen normalt i to mulige tilfælde:
når hvad der er inde i modulet er positivt og
når hvad der er inde i modulet er negativt.
Læs også: Hvad er forskellen mellem en funktion og en ligning?
et rigtigt talmodul
For at være i stand til at løse modulære ligningsproblemer er det nødvendigt at huske modulo-definitionen. Modulet er altid det samme som afstand et tal har til nul, og at repræsentere modulets tal ingen, bruger vi den lige bjælke som følger: |ingen|. For at beregne |ingen|, vi delte i to tilfælde:
Derfor kan vi sige, at |ingen| er det samme som det eget ingen når det er et positivt tal eller lig med nul, og i det andet tilfælde |ingen| er lig med det modsatte af
ingen hvis det er negativt. Husk, at det modsatte af et negativt tal altid er positivt, så |ingen| har altid et resultat svarende til et positivt tal.Eksempler:
a) | 2 | = 2
b) | -1 | = - (- 1) = 1
Se også: Hvordan løses logaritmisk ligning?
Hvordan løses en modullig ligning?
For at finde løsningen på en modullig ligning er det nødvendigt at analysere hver af mulighederne, det vil sige at opdele, altid i to tilfælde, hver af modulerne. Ud over at kende moduldefinitionen til at løse modulære ligninger, det er vigtigt at vide, hvordan man løser polynomiske ligninger.
Eksempel 1:
| x - 3 | = 5
For at finde løsningen på denne ligning er det vigtigt at huske, at der er to mulige resultater, der giver |ingen| = 5, det er dem, ingen = -5, da | -5 | = 5, og også ingen = 5, fordi | 5 | = 5. Så ved hjælp af den samme idé skal vi:
I → x - 3 = 5 eller
II → x - 3 = -5
Løsning af en af ligningerne separat:
Opløsning I:
x - 3 = 5
x = 5 + 3
x = 8
Opløsning II:
x - 3 = -5
x = -5 + 3
x = -2
Så der er to løsninger: S = {-2, 8}.
Bemærk, at hvis x = 8, er ligningen sand, fordi:
| x - 3 | = 5
|8 – 3| = 5
|5| = 5
Bemærk også, at hvis x = -2, er ligningen også sand:
|-2 – 3| = 5
|-5| = 5
Eksempel 2:
| 2x + 3 | = 5
Som i eksempel 1 er det nødvendigt at opdele det i to tilfælde for at finde løsningen i henhold til moduldefinitionen.
I → 2x + 3 = 5
II → 2x + 3 = -5
Opløsning I:
2x + 3 = 5
2x = 5 - 3
2x = 2
x = 2/2
x = 1
Opløsning II:
2x + 3 = -5
2x = -5 - 3
2x = -8
x = -8/2
x = -4
Derefter sæt af løsninger er: S = {1, -4}.
Eksempel 3:
| x + 3 | = | 2x - 1 |
Når vi har lighed med to moduler, er vi nødt til at opdele det i to tilfælde:
1. sag, første og andet medlem af samme tegn.
2. sag, første og andet medlem af modsatte tegn.
Opløsning I:
Vi vil gøre de to sider større end nul, det vil sige, vi fjerner simpelthen modulet. Vi kan også gøre med begge negativer, men resultatet bliver det samme.
X + 3 ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
2x - 1 ≥ 0 → | 2x - 1 | = 2x - 1
x + 3 = 2x - 1
x - 2x = -1 - 3
x = -4 (-1)
x = 4
Opløsning II:
Sider af modsatte tegn. Vi vælger den ene side for at være positiv og den anden side for at være negativ.
Valg af:
| x + 3 | ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
| 2x - 1 | <0 → | 2x –1 | = - (2x - 1)
Så vi er nødt til at:
x + 3 = - (2x - 1)
x + 3 = - 2x + 1
x + 2x = - 3 + 1
3x = -2
x = -2/3
Så sæt af løsninger er: S = {4, -2/3}.
Også adgang: Hvad er irrationelle ligninger?
løste øvelser
Spørgsmål 1 - (UFJF) Antallet af negative løsninger i modulligningen | 5x - 6 | = x² er:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Løsning
Alternativ E
Vi ønsker at løse den modulære ligning:
| 5x - 6 | = x²
Så lad os opdele det i to tilfælde:
Opløsning I:
5x - 6> 0 → | 5x - 6 | = 5x - 6
Så vi er nødt til at:
5x - 6 = x²
-x² + 5x - 6 = 0
Husk, at delta-værdien fortæller os, hvor mange løsninger den kvadratiske ligning har:
a = -1
b = 5
c = -6
Δ = b² - 4ac
Δ = 5² – 4 · (-1) · (-6)
Δ = 25 – 24
Δ = 1
Da 1 er positiv, er der i dette tilfælde to reelle løsninger.
Opløsning II:
| 5x - 6 | <0 → | 5x - 6 | = - (5x - 6)
- (5x - 6) = x²
- 5x + 6 = x²
- x² - 5x + 6 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = (-5)² – 4 · (-1) · (+6)
Δ = 25 + 24
Δ = 49
Da Δ også i dette tilfælde er positiv, er der to reelle løsninger, så det samlede antal reelle løsninger er 4.
Spørgsmål 2 - (PUC SP) Løsningssættet S for ligningen | 2x - 1 | = x - 1 er:
A) S = {0, 2/3}
B) S = {0, 1/3}
C) S = Ø
D) S = {0, -1}
E) S = {0, 4/3}
Løsning
Alternativ A
Opløsning I:
| 2x - 1 | = 2x - 1
Så vi er nødt til at:
2x - 1 = x - 1
2x - x = - 1 + 1
x = 0
Opløsning II:
| 2x - 1 | = - (2x - 1)
- (2x - 1) = x - 1
-2x + 1 = x - 1
-2x - x = -1 - 1
-3x = -2 (-1)
3x = 2
x = 2/3
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-modular.htm