Hyperbole. definition af hyperbole

Hvad er hyperbole?
Definition: Lad F1 og F2 være to punkter på planet, og lad 2c være afstanden mellem dem, hyperbola er sættet af punkterne i planet, hvis forskel (i modul) af afstande til F1 og F2 er konstanten 2a (0 <2a <2c).
Elementer i en hyperbole:

F1 og F2 → er fokus for hyperbola
→ er centrum for hyperbole
2c → brændvidde
2. → måling af rigtig eller tværgående akse
2b → imaginær aksemåling
c / a → excentricitet
Der er et forhold mellem a, b og c → c² = den² + b²

Reduceret hyperbolligning
1. tilfælde: Hyperbola med fokus på x-aksen.

Det er klart, at i dette tilfælde vil foci have koordinaterne F1 (-c, 0) og F2 (c, 0).
Således vil den reducerede ligning af ellipsen med centrum ved oprindelsen af ​​det kartesiske plan og fokusere på x-aksen være:

2. tilfælde: Hyperbola med foci på y-aksen.

I dette tilfælde vil foci have koordinaterne F1 (0, -c) og F2 (0, c).
Således vil den reducerede ligning af ellipsen med centrum ved oprindelsen af ​​det kartesiske plan og fokusere på y-aksen være:

Eksempel 1. Find den reducerede ligning af hyperbolen med den reelle akse 6, foci F1 (-5, 0) og F2 (5, 0).

Løsning: Det skal vi
2a = 6 → a = 3
F1 (-5, 0) og F2 (5, 0) → c = 5
Fra det bemærkelsesværdige forhold opnår vi:
ç² = den² + b^2 → 5² = 3² + b² → b² = 25 - 9 → b² = 16 → b = 4
Den reducerede ligning vil således blive givet af:

Eksempel 2. Find den reducerede hyperbolligning, der har to foci med F2-koordinater (0, 10) og imaginær akse, der måler 12.
Løsning: Det skal vi
F2 (0, 10) → c = 10
2b = 12 → b = 6
Ved hjælp af det bemærkelsesværdige forhold opnår vi:
10² = den² + 6² → 100 = a² + 36 → a² = 100 - 36 → a² = 64 → a = 8.
Den reducerede hyperbolligning vil således blive givet ved:

Eksempel 3. Bestem brændvidden for hyperbolen med ligning
Løsning: Da hyperbolligningen er af typen  Vi skal
Det² = 16 og b² =9
Fra det bemærkelsesværdige forhold, vi opnår
ç² = 16 + 9 → c² = 25 → c = 5
Brændvidden er angivet med 2c. Dermed,
2c = 2 * 5 = 10
Så brændvidden er 10.

Af Marcelo Rigonatto
Specialist i statistik og matematisk modellering
Brazil School Team

Analytisk geometri - Matematik - Brasilien skole