Løste lineære systemøvelser

Øv din viden om lineære systemer, et vigtigt matematikemne, der involverer studiet af simultane ligninger. Med mange praktiske anvendelser bruges de til at løse problemer, der involverer forskellige variable.

Alle spørgsmål løses trin for trin, hvor vi vil bruge forskellige metoder, såsom: substitution, addition, eliminering, skalering og Cramers regel.

Spørgsmål 1 (erstatningsmetode)

Bestem det ordnede par, der løser følgende system af lineære ligninger.

åbne klammeparenteser tabel attributter kolonnejustering venstre ende attributter række med celle med 3 lige x minus 2 lige y er lig med 1 ende af cellerække med celle med 6 lige x minus 4 lige y er lig med 7 ende af celle ende af tabel tæt

Se Svar

Respons: åben parentes 3 over 4 kommamellemrum 5 over 8 luk parentes

Isolering af x i den første ligning:

3 lige x minus 2 lige y er lig med 1 3 lige x er lig med 1 plus 2 lige y lige x er lig med tæller 1 plus 2 lige y over nævner 3 slutningen af brøken

Substitution af x i den anden ligning:

6 åbne parenteser tæller 1 plus 2 lige y over nævner 3 ende af brøk Luk parentes plus 4 lige y er lig med 7 tæller 6 plus 12 lige y over nævner 3 ende af brøk plus 4 lige y er lig med 7 tæller 6 plus 12 lige y over nævner 3 slutning af brøk plus tæller 3,4 lige y over nævner 3 ende af brøk lig med 7 tæller 6 plus 12 lige y plus 12 lige y over nævner 3 slutning af brøk lig med 7 tæller 6 plus 24 lige y over nævner 3 ende af brøken er lig med 7 6 plus 24 lige y er lig med 7,3 6 plus 24 lige y er lig med 21 24 lige y er lig med 21 minus 6 24 lige y er lig 15 lige y er lig med 15 over 24 er lig med til 5 over 8

Sætter værdien af y ind i den første ligning.

3 x minus 2 y er lig med 1 3 x minus 2 5 over 8 er lig med 1 3 x minus 10 over 8 er lig 1 3 x er lig 1 plus 10 over 8 3 x er lig 8 over 8 plus 10 over 8 3 x er lig med 18 over 8 x er lig med tæller 18 over nævner 8,3 slutningen af brøk x er lig 18 over 24 er lig med 3 over 4

Så det bestilte par, der løser systemet, er:
åben parentes 3 over 4 kommamellemrum 5 over 8 luk parentes

Spørgsmål 2 (skaleringsmetode)

Løsningen til følgende lineære ligningssystem er:

åbne klammeparenteser tabelattributter kolonnejustering venstre ende af attributter række med celle med lige x minus lige y plus lige z er lig med 6 ende af celle række med celle med mellemrum 2 lige y plus 3 lige z er lig med 8 ende af cellerække med celle med mellemrum mellemrum mellemrum mellemrum mellemrum mellemrum mellemrum mellemrum mellemrum mellemrum mellemrum 4 lige z svarer til 8 ende af celle ende af tabellen tæt

Se Svar

Svar: x = 5, y = 1, z = 2

Systemet er allerede i echelon-form. Den tredje ligning har to nulkoefficienter (y = 0 og x = 0), den anden ligning har en nulkoefficient (x = 0), og den tredje ligning har ingen nulkoefficienter.

I et echelonsystem løser vi "fra bund til top", det vil sige, at vi starter med den tredje ligning.

instagram story viewer

4 z er lig med 8 z er lig med 8 over 4 er lig med 2

Går vi til den øverste ligning, erstatter vi z = 2.

2 lige y plus 3 lige z er lig 8 2 lige y plus 3,2 er lig 8 2 lige y plus 6 er lig 8 2 lige y er lig 8 minus 6 2 lige y er lig 2 lige y er lig 2 over 2 er lig med 1

Til sidst erstatter vi z = 2 og y = 1 i den første ligning for at opnå x.

lige x minus lige y plus lige z er lig med 6 lige x minus 1 plus 2 er lig med 6 lige x plus 1 er lig med 6 lige x er lig 6 minus 1 lige x er lig med 5

Løsning

x = 5, y = 1, z = 2

Spørgsmål 3 (Cramers regel eller metode)

Løs følgende system af lineære ligninger:

åbne klammeparenteser tabel attributter kolonnejustering venstre ende attributter række med celle med lige x minus lige y er lig med 4 smalt mellemrum ende af cellerække med celle med 2 lige x ligeste y er lig med 8 ende af celle ende af tabel tæt

Se Svar

Svar: x = 4, y = 0.

Bruger Cramers regel.

Trin 1: Bestem determinanterne D, Dx og Dy.

Matrixen af koefficienter er:

åbne parentes tabelrække med 1 celle minus 1 ende af celle række med 2 1 ende af tabel lukke parentes

Dens determinant:
D = 1. 1 - 2. (-1)
D = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3

Til beregningen af Dx erstatter vi kolonnen af led af x med kolonnen med uafhængige led.

åbne parentes tabelrække med 4 celler minus 1 ende af celle række med 8 1 ende af tabel lukke parentes

Dx = 4. 1 - 8. (-1)
Dx = 4 + 8 = 12

Til beregningen af Dy erstatter vi y-vilkårene med de uafhængige vilkår.

åbne beslag bordrække med 1 4 række med 2 8 bordende lukkebeslag

Dy = 1. 8 - 2. 4
Dy = 8 - 8
Dy = 0

trin 2: Bestem x og y.

For at bestemme x gør vi:

lige x er lig med Dx over lige D er lig med 12 over 3 er lig med 4

For at bestemme y gør vi:

lige y er lig med Dy over lige D er lig med 0 over 3 er lig med 0

spørgsmål 4

En sælger af t-shirt og kasketter ved en sportsbegivenhed solgte 3 t-shirts og 2 kasketter, hvilket i alt rejste R$220,00. Dagen efter solgte han 2 skjorter og 3 kasketter, hvilket rejste R$190,00. Hvad ville være prisen på en T-shirt og prisen på en kasket?

a) T-shirt: BRL 60,00 | Kapacitet: BRL 40,00

b) T-shirt: BRL 40,00 | Kapacitet: BRL 60,00

c) T-shirt: BRL 56,00 | Kapacitet: BRL 26,00

d) T-shirt: BRL 50,00 | Kapacitet: BRL 70,00

e) T-shirt: BRL 80,00 | Kapacitet: BRL 30,00

Svar forklaret

Lad os mærke prisen på T-shirts c og prisen på hatte b.

For den første dag har vi:

3c + 2b = 220

For anden dag har vi:

2c + 3b = 190

Vi danner to ligninger med to ukendte hver, c og b. Så vi har et system med 2x2 lineære ligninger.

åbne klammeparenteser tabel attributter kolonnejustering venstre ende attributter række med celle med 3 lige c plus 2 lige b lig med 220 ende af cellerække med celle med 2 lige c plus 3 lige b lig med 190 ende af celle ende af tabel tæt

Løsning

Brug af Cramers regel:

1. trin: determinant for matrixen af koefficienter.

lige D mellemrum åbne parenteser bordrække med 3 2 rækker med 2 3 bordende lukkebeslag er lig med 3,3 minus 2,2 er lig med 9 minus 4 er lig med 5

2. trin: determinant Dc.

Vi erstatter kolonnen af c med matrixen af uafhængige led.

Dc-mellemrum åbner parenteser tabelrække med 220 2 rækker med 190 3 ende af bordet lukke parenteser lig med 220,3 minus 2.190 er lig med 660 minus 380 er lig med 280

3. trin: determinant Db.

Db åbne beslag bordrække med 3 220 række med 2 190 bordende lukkebeslag svarende til 3 mellemrum. plads 190 plads minus plads 2 plads. mellemrum 220 mellemrum er lig med mellemrum 570 minus 440 er lig med 130

4. trin: Bestem værdien af c og b.

lige linje c er lig Dc over lige D er lig med 280 over 5 er lig med 56 ret b er lig Db over lige D er lig med 130 over 5 er lig med 26

Respons:

Prisen på T-shirten er R$56,00 og kasketten R$26,00.

spørgsmål 5

En biograf koster R$10,00 pr. billet for voksne og R$6,00 pr. billet for børn. På én dag blev der solgt 80 billetter, og den samlede indsamling var R$ 700,00. Hvor mange billetter af hver type blev der solgt?

a) Voksne: 75 | Børn: 25

b) Voksne: 40 | Børn: 40

c) Voksne: 65 | Børn: 25

d) Voksne: 30 | Børn: 50

e) Voksne: 25 | Børn: 75

Svar forklaret

Vi vil navngive det som Det billetprisen for voksne og w for børn.

I forhold til det samlede antal billetter har vi:

a + c = 80

Med hensyn til den opnåede værdi har vi:

10a + 6c = 700

Vi danner et system af lineære ligninger med to ligninger og to ubekendte, det vil sige et 2x2 system.

åbne klammeparenteser tabelattributter kolonnejustering venstre ende attributter række med celle med ligeste til ligeste c er lig med 80 ende af cellerække med celle med 10 lige plus 6 lige c er lig med 700 ende af celle ende af tabel tæt

Løsning

Vi vil bruge substitutionsmetoden.

Isolering af a i den første ligning:

a = 80 - c

Indsættelse af a i den anden ligning:

10.(80 - c) + 6c = 700

800 -10c + 6c = 700

800 - 700 = 10c - 6c

100 = 4c

c = 100/4

c = 25

Substituerer c i den anden ligning:

6a + 10c = 700

6a+10. 25 = 700

6 år + 250 = 700

6a = 700 - 250

6a = 450

a = 450/6

a = 75

spørgsmål 6

En butik sælger T-shirts, shorts og sko. På den første dag blev der solgt 2 T-shirts, 3 shorts og 4 par sko for i alt 350,00 R$. På den anden dag blev der solgt 3 T-shirts, 2 shorts og 1 par sko for i alt 200,00 R$. På den tredje dag blev der solgt 1 T-shirt, 4 shorts og 2 par sko for i alt 320,00 R$. Hvor meget ville en T-shirt, shorts og et par sko koste?

a) T-shirt: BRL 56,00 | Bermuda: R$ 24,00 | Sko: BRL 74,00

b) T-shirt: BRL 40,00 | Bermuda: R$ 50,00 | Sko: BRL 70,00

c) T-shirt: BRL 16,00 | Bermuda: R$ 58,00 | Sko: BRL 36,00

d) T-shirt: BRL 80,00 | Bermuda: R$ 50,00 | Sko: BRL 40,00

e) T-shirt: BRL 12,00 | Bermuda: R$ 26,00 | Sko: BRL 56,00

Svar forklaret

c er prisen på skjorter;
b er prisen på shortsene;
s er prisen på skoene.

For den første dag:

2c + 3b + 4s = 350

For anden dag:

3c + 2b + s = 200

For tredje dag:

c + 4b + 2s = 320

Vi har tre ligninger og tre ubekendte, der danner et 3x3 system af lineære ligninger.

åbne klammeparenteser tabel attributter kolonnejustering venstre ende attributter række med celle com 2 lige c plus 3 lige b plus 4 lige s er lig med 350 ende af celle række med celle med 3 lige c plus 2 lige b plus lige s er lig med 200 ende af cellerække med celle med lige c plus 4 lige b plus 2 lige s er lig med 320 ende af celle ende af tabel tæt

Bruger Cramers regel.

Matrixen af koefficienter er

åbne beslag bordrække med 2 3 4 rækker med 3 2 1 række med 1 4 2 bordende lukke beslag

Dens determinant er D = 25.

Kolonnematricen af svar er:

åbne beslag bordrække med 350 rækker med 200 rækker med 320 ende af bord lukke beslag

For at beregne Dc erstatter vi kolonnematrixen af svar med den første kolonne i matrixen af koefficienter.

åbne beslag bordrække med 350 3 4 rækker med 200 2 1 række med 320 4 2 bordende lukke beslag

dc = 400

Til beregning af Db:

åbne beslag bordrække med 2 350 4 rækker med 3 200 1 række med 1 320 2 bordende lukke beslag

Db = 1450

Til beregning af Ds:

åbne beslag bordrække med 2 3 350 række med 3 2 200 række med 1 4 320 ende af bordet lukke beslag

Ds = 900

For at bestemme c, b og s dividerer vi determinanterne Dc, Db og Ds med hoveddeterminanten D.

lige c er lig Dc over lige D er lig 400 over 25 er lig 16 lige b er lig Db over lige D er lig 1450 over 25 er lig 58 lige s er lig Ds over lige D er lig 900 over 25 er lig 36

spørgsmål 7

En restaurant tilbyder tre retter: kød, salat og pizza. Den første dag blev der solgt 40 kødretter, 30 salatretter og 10 pizzaer til et samlet salg på 700,00 R$. På den anden dag blev der solgt 20 kødretter, 40 salatretter og 30 pizzaer til et samlet salg på R$ 600,00. På den tredje dag blev der solgt 10 kødretter, 20 salatretter og 40 pizzaer til et samlet salg på 500,00 R$. Hvor meget ville hver ret koste?

a) kød: BRL 200,00 | salat: R$ 15,00 | pizza: 10,00 BRL

b) kød: R$ 150,00 | salat: R$ 10,00 | pizza: BRL 60,00

c) kød: 100,00 BRL | salat: R$ 15,00 | pizza: BRL 70,00

d) kød: 200,00 BRL | salat: R$ 10,00 | pizza: BRL 15,00

e) kød: 140,00 BRL | salat: R$ 20,00 | pizza: BRL 80,00

Svar forklaret

Ved brug af:

c for kød;
s til salat;
p for pizza.

På den første dag:

40 lige c plus 30 lige s plus 10 lige p er lig med 7000

På den anden dag:

20 lige c plus 40 lige s plus 30 lige p er lig med 6000

På den tredje dag:

10 lige c plus 20 lige s plus 40 lige p er lig med 5000

Prisen på hver ret kan fås ved at løse systemet:

åbne klammeparenteser tabelattributter kolonnejustering venstre ende af attributrække med celle med 40 lige c mellemrum plus mellemrum 30 lige s mellemrum plus mellemrum 10 lige p er lig med 7000 ende af cellelinje med celle med 20 lige c mellemrum plus mellemrum 40 lige s mellemrum plus mellemrum 30 lige p er lig 6000 ende af cellerække med celle med 10 lige c mellemrum plus mellemrum 20 lige s mellemrum plus mellemrum 40 lige p er lig med 5000 ende af celle ende af tabel tæt

Løsning

Brug af elimineringsmetoden.

Multiplicer 20c + 40s + 30p = 6000 med 2.

åbne firkantede parenteser tabelrække med celle med 40 lige c plus 30 lige s plus 10 lige p er lig med 7000 slutningen af cellerække med celle med 40 lige c plus 80 lige s plus 60 lige p er lig med 12000 slutningen af cellerække med celle med 10 lige c plus 20 lige s plus 40 lige p er lig med 5000 slutningen af celle slutningen af tabellen firkantede parenteser

Træk den anden matrixligning fra den første.

50 lige s plus 50 lige p er lig med 5000

I matrixen ovenfor erstatter vi denne ligning med den anden.

åbne firkantede parenteser tabelrække med celle med 40 lige c plus 30 lige s plus 10 lige p er lig med 7000 slutningen af cellerække med celle med 50 lige s plus 50 lige p er lig med 5000 ende af cellerække med celle med 10 lige c plus 20 lige s plus 40 lige p er lig med 5000 ende af celle ende af tabel lukker firkantede parenteser

Vi ganger den tredje ligning ovenfor med 4.

Trækker vi den tredje fra den første ligning, får vi:

50 lige s plus 150 lige p er lig med 13000

Erstatning af ligningen opnået med den tredje.

åbne firkantede parenteser tabelrække med celle med 40 lige c plus 30 lige s plus 10 lige p er lig med 7000 ende af cellerække med celle med 50 lige s plus 50 lige p er lig med 5000 ende af cellelinje med celle med 50 lige s plus 150 lige p er lig med 13000 ende af celle ende af tabel lukker firkantede parenteser

Hvis vi trækker ligning to og tre fra, har vi:

åbne firkantede parenteser tabelrække med celle med 40 c plus 30 s plus 10 p er lig med 7000 slutningen af cellerække med celle med 50 s plus 50p er lig med 5000 slutningen af cellerækken med celle med 100p er lig med 8000 slutningen af celleenden af tabellen lukkes firkantede parenteser

Fra den tredje ligning får vi p = 80.

Substitution af p i den anden ligning:

50s + 50,80 = 5000

50s + 4000 = 5000

50'ere = 1000

s = 1000/50 = 20

Substitution af værdierne af s og p i den første ligning:

40c + 30,20 + 10,80 = 7000

40c + 600 + 800 = 7000

40c = 7000 - 600 - 800

40c = 5600

c = 5600 / 40 = 140

Løsning

p=80, s=20 og c=140

spørgsmål 8

(UEMG) I planen, systemet åbne klammeparenteser tabelattributter kolonnejustering venstre ende attributter række med celle med 2 lige x plus 3 lige y er lig med minus 2 ende af cellerække med celle med 4 lige x minus 6 lige y er lig med 12 ende af celle ende af tabel tæt repræsenterer et par linjer

a) sammenfaldende.

b) distinkt og parallel.

c) samtidige linjer i punktet ( 1, -4/3 )

d) samtidige linjer i punktet ( 5/3, -16/9 )

Svar forklaret

Multiplicer den første ligning med to og addér de to ligninger:

åbne klammeparenteser tabel attributter kolonnejustering venstre ende attributter række med celle med lige Et kolon 4 lige x plus 6 lige y er lig minus 4 slutningen af celle række med celle med lige B to punkter 4 lige x minus 6 lige y er lig med 12 ende af celle ende af tabel luk afstandsstykke Et mellemrum plus lige mellemrum B er lig med 8 lige x er lig med 8 lige x er lig med 8 over 8 er lig med 1

Substitution af x i ligning A:

4,1 mellemrum plus mellemrum 6 y mellemrum er lig med mellemrum minus 4 mellemrum mellemrum 6 y mellemrum er lig med mellemrum minus 4 mellemrum minus mellemrum 46 y er lig minus 8y er lig med tæller minus 8 over nævner 6 enden af brøk er lig minus 4 omkring 3

spørgsmål 9

(PUC-MINAS) Et bestemt laboratorium sendte 108 ordrer til apotekerne A, B og C. Det er kendt, at antallet af bestillinger sendt til apotek B var det dobbelte af det samlede antal bestillinger sendt til de to andre apoteker. Derudover blev tre ordrer over halvdelen af mængden afsendt til apotek A sendt til apotek C.

På baggrund af disse oplysninger er det KORREKT at oplyse, at det samlede antal bestillinger sendt til apotek B og C var

a) 36

b) 54

c) 86

d) 94

Svar forklaret

Ifølge erklæringen har vi:

A + B + C = 108.

Også, at mængden af B var det dobbelte af A + C.

B = 2(A + C)

Tre ordrer blev sendt til apotek C, mere end halvdelen af mængden blev sendt til apotek A.

C = A/2 + 3

Vi har ligninger og tre ubekendte.

åbne klammeparenteser tabelattributter kolonnejustering venstre ende af attributter række med celle med lige A ligeste B ligeste C er lig med 108 ende af celle række med celle med lige B er lig med 2 venstre parentes lige A plus lige C højre parentes ende af cellerække med celle med lige C er lig lige A over 2 plus 3 ende af celle ende af tabel tæt

Brug af substitutionsmetoden.

Trin 1: Erstat den tredje med den anden.

lige B er lig med 2 lige A mellemrum plus mellemrum 2 lige Creto B er lig 2 lige A mellemrum plus mellemrum 2 åbner firkantede parenteser A over 2 plus 3 luk parentes B er lig med 2 lige A mellemrum plus mellemrum A mellemrum plus mellemrum 6 kvadrat B er lig 3 kvadrat A mellemrum plus mellemrum 6

Trin 2: Erstat det opnåede resultat og den tredje ligning i den første.

lige A plus lige B plus lige C er lig med 108 lige A plus mellemrum 3 lige A plus 6 mellemrum plus lige mellemrum A over 2 plus 3 mellemrum er lig med mellemrum 1084 lige A mellemrum plus lige mellemrum A over 2 er lig med 108 mellemrum minus mellemrum 9tæller 9 lige A over nævner 2 ende af brøk er lig 999 lige Et mellemrum er lig mellemrum 99 plads. rum 29 lige Et mellemrum er lig med mellemrum 198 lige Et mellemrum er lig med mellemrum 198 over 9 lige Et mellemrum er lig med mellemrum 22

Trin 3: Erstat værdien af A for at bestemme værdierne af B og C.

B = 3A + 6 = 3,22 + 6 = 72

For C:

linje C er lig med 22 over 2 plus 3 linje C er lig med 11 plus 3 er lig med 14

Trin 4: Tilføj værdierne for B og C.

72 + 14 = 86

spørgsmål 10

(UFRGS 2019) Således at systemet af lineære ligninger åbne klammeparenteser tabel attributter kolonnejustering venstre ende attributter række med celle med lige x plus lige y er lig med 7 ende af cellerække med celle med økse plus 2 lige y er lig med 9 ende af celle ende af tabel tæt muligt og bestemt, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at

a) a ∈ R.

b) a = 2.

c) a = 1.

d) a ≠ 1.

c) a ≠ 2.

Svar forklaret

En af måderne at klassificere et system som muligt og bestemme er gennem Cramers metode.

Betingelsen for dette er, at determinanterne er forskellige fra nul.

Gør determinanten D af hovedmatrixen lig med nul:

åbne beslag bordrække med 1 1 række med en 2 ende af bordet tæt beslag ikke lig 01 mellemrum. mellemrum 2 mellemrum minus mellemrum for mellemrum. mellemrum 1 ikke lig 02 mellemrum mindre end ikke lig 02 ikke lig med

For at lære mere om lineære systemer:

Lineære systemer: hvad de er, typer og hvordan man løser dem
Ligningssystemer
Skalering af lineære systemer
Cramers regel

For flere øvelser:

Ligningssystemer af 1. grad

ASTH, Rafael. Øvelser om løste lineære systemer.Alt betyder noget, [n.d.]. Tilgængelig i: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. Adgang på:

Se også