EN tangent (forkortet som tg eller tan) er en trigonometrisk funktion. For at bestemme tangenten af en vinkel kan vi bruge forskellige strategier: beregn forholdet mellem vinklens sinus og cosinus, hvis de er kendte; brug en tangenttabel eller en lommeregner; udregn forholdet mellem det modsatte ben og det tilstødende ben, hvis den pågældende vinkel er intern (spids) af en retvinklet trekant, bl.a.
Læs også: Hvad bruges den trigonometriske cirkel til?
resumé på tangent
Tangent er en trigonometrisk funktion.
Tangens af en indre vinkel til en retvinklet trekant er forholdet mellem den modsatte side og den tilstødende side.
Tangensen af enhver vinkel er forholdet mellem sinus og cosinus for denne vinkel.
Funktionen \(f (x)=tg\ x\) er defineret for vinkler x udtrykt i radianer, således at cos \(cos\ x≠0\).
Grafen for tangentfunktionen viser lodrette asymptoter for værdierne, hvor \(x= \frac{π}2+kπ\), med k hel, ligesom \(x=-\frac{π}2\).
Tangentloven er et udtryk, der i enhver trekant forbinder tangenterne af to vinkler og siderne modsat disse vinkler.
Tangent af en vinkel
Hvis α er en vinkel indre af en retvinklet trekant, tangensen af α er forholdet mellem længden af det modsatte ben og længden af det tilstødende ben:
For enhver vinkel α er tangenten forholdet mellem sin α og cosinus af α, hvor \(cos\ α≠0\):
\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)
Det skal bemærkes, at hvis α er en vinkel i 1. eller 3. kvadrant, vil tangenten have et positivt fortegn; men hvis α er en vinkel i 2. eller 4. kvadrant, vil tangenten have et negativt fortegn. Dette forhold stammer direkte fra fortegnsreglen mellem fortegnene for sinus og cosinus for hver α.
Vigtig: Bemærk, at tangenten ikke eksisterer for værdier af α hvor \(cos\ α=0\). Dette sker for vinkler på 90°, 270°, 450°, 630° og så videre. For at repræsentere disse vinkler på en generel måde bruger vi radiannotation: \(\frac{ π}2+kπ\), med k hel.
Tangent af bemærkelsesværdige vinkler
Brug af udtrykket \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), kan vi finde tangenterne af bemærkelsesværdige vinkler, som er vinklerne på 30°, 45° og 60°:
\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)
\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)
\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)
Interessant: Ud over disse kan vi analysere tangentværdierne for vinklerne 0° og 90°, som også er meget brugt. Da sin 0° = 0, konkluderer vi, at tan 0° = 0. For 90°-vinklen, da cos90° = 0, eksisterer tangenten ikke.
Hvordan beregner man tangenten?
For at beregne tangenten bruger vi formlen tg α=sin αcos α, der bruges til at beregne tangenten af enhver vinkel. Lad os se på nogle eksempler nedenfor.
Eksempel 1
Find tangenten til vinklen α i den rigtige trekant nedenfor.
Løsning:
Med hensyn til vinklen α er siden af mål 6 den modsatte side og siden af mål 8 er den tilstødende side. Sådan her:
\(tg\ α=\frac{6}8=0,75\)
Eksempel 2
At vide det \(sin\ 35°≈0,573\) og cos\(35°≈0,819\), find den omtrentlige værdi for 35°-tangenten.
Løsning:
Da tangens af en vinkel er forholdet mellem sinus og cosinus af denne vinkel, har vi:
\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0,573}{0,819}\)
\(tg\ 35°≈0,700\)
tangentfunktion
Funktionen fx=tg x er defineret for vinkler x udtrykt i radianer, således at \(cos\ x≠0\). Det betyder, at tangensfunktionens domæne er udtrykt ved:
\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)
Desuden alle reelle tal er billedet af tangentfunktionen.
→ Graf over tangentfunktionen
Bemærk, at grafen for tangentfunktionen har lodrette asymptoter for værdierne hvor \(x= \frac{π}2+kπ\), med k hel, ligesom \( x=-\frac{π}2\). For disse værdier af x, tangenten er ikke defineret (det vil sige, tangenten findes ikke).
Se også: Hvad er domæne, rækkevidde og billede?
loven om tangenter
Loven om tangenter er a udtryk, der forbinder, i en trekant enhver, tangenterne af to vinkler og siderne modsat disse vinkler. Overvej f.eks. vinklerne α og β i trekant ABC nedenfor. Bemærk at siden CB = a er modsat vinklen α og at siden AC = b er modsat vinklen β.
Loven om tangenter siger, at:
\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\)
trigonometriske forhold
Til trigonometriske forhold er de trigonometriske funktioner, der arbejdes på den rette trekant. Vi fortolker disse forhold som forhold mellem siderne og vinklerne i denne type trekant.
Løste øvelser på tangent
Spørgsmål 1
Lad θ være en vinkel på den anden kvadrant, således at sin\(sin\ θ≈0,978\), så tgθ er cirka:
A) -4.688
B) 4.688
C) 0,2086
D) -0,2086
E) 1
Løsning
Alternativ A
hvis \(sin\ θ≈0,978\), så ved at bruge trigonometriens grundlæggende identitet:
\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)
\(0,978^2+cos^2 θ=1\)
\(cos^2 θ=1-0,956484\)
\(cos\ θ=±\sqrt{0,043516}\)
Da θ er en vinkel i den anden kvadrant, så er cosθ negativ, derfor:
\(cos\ θ≈- 0,2086\)
Snart:
\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0,978}{-0,2086}=-4,688\)
spørgsmål 2
Betragt en retvinklet trekant ABC med ben AB = 3 cm og AC = 4 cm. Tangens af vinkel B er:
EN) \(\frac{3}4\)
B) \(\frac{3}5\)
W) \(\frac{4}3\)
D) \(\frac{4}5\)
OG) \(\frac{5}3\)
Løsning:
Alternativ C
Ved udsagnet, benet modsat vinklen \(\hat{B}\) er AC måler 4 cm og benet støder op til vinklen \(\hat{B}\) er AB med et mål på 3 cm. Sådan her:
\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)
Af Maria Luiza Alves Rizzo
Matematiklærer
