En omtrentlige kvadratrod er en endelig repræsentation af a irrationelt tal. I mange tilfælde, når man arbejder med kvadratrødder, er et skøn med et par decimaler nok til vores beregninger.
Lommeregneren er et vigtigt værktøj i denne proces. Dens display, som har begrænset plads, indikerer en god tilnærmelse for ikke-nøjagtige kvadratrødder. Men det er også muligt at finde disse estimater uden hjælp af en lommeregner, som vi vil se nedenfor.
Læs også: Rooting - alt om den omvendte potentieringsoperation
Cirka kvadratrodsoversigt
En upræcis kvadratrod er et irrationelt tal.
Vi kan finde omtrentlige værdier for ikke-nøjagtige kvadratrødder.
Nøjagtigheden af tilnærmelsen afhænger af antallet af anvendte decimaler.
Tilnærmelsen kan foretages på forskellige måder, herunder ved hjælp af lommeregneren.
At finde en y-tilnærmelse til kvadratroden af x betyder, at y² er meget tæt på x, men y² er ikke lig med x.
Videolektion om omtrentlig kvadratrod
Hvordan beregner man den omtrentlige kvadratrod?
Der er forskellige måder
at beregne tilnærmelsen af en kvadratrod. En af dem er lommeregneren! For eksempel når vi skriver \(\sqrt{2}\) på lommeregneren og klik på =, det resulterende tal er en tilnærmelse. Det samme gælder med \(\sqrt{3}\) det er \(\sqrt{5}\), som også er upræcise kvadratrødder, det vil sige, at de er irrationelle tal.En anden måde er at bruge nøjagtige rødder tæt på den undersøgte ikke-nøjagtige rod. Dette lader dig sammenligne decimalrepræsentationerne og finde et interval for den ikke-nøjagtige rod. Således kan vi teste nogle værdier, indtil vi finder en god tilnærmelse.
Det lyder svært, men bare rolig: det er en testproces. Lad os se på nogle eksempler.
Eksempler
Find en tilnærmelse til to decimaler for \(\mathbf{\sqrt{5}}\).
indse det \(\sqrt{4}\) det er \(\sqrt{9}\) er de nærmeste nøjagtige rødder af \(\sqrt{5}\). Husk, at jo større radikanden er, jo større er kvadratrodsværdien. Det kan vi altså konkludere
\(\sqrt{4}
\(2
dvs. \(\sqrt5\) er et tal mellem 2 og 3.
Nu er det tid til at teste: vi vælger nogle værdier mellem 2 og 3 og kontrollerer, om hvert kvadrattal nærmer sig 5. (Huske på, at \(\sqrt5=a\) hvis \(a^2=5\)).
Lad os for nemheds skyld starte med tal med én decimal:
\(2,1^2=4,41\)
\(2,2^2=4,84\)
\(2,3^2=5,29\)
Bemærk, at vi ikke engang behøver at fortsætte med at parse tal med én decimal: det tal, vi leder efter, er mellem 2,2 og 2,3.
\(2,2
Nu, da vi leder efter en tilnærmelse med to decimaler, lad os fortsætte med testene:
\(2,21^2=4,8841\)
\(2,22^2=4,9284\)
\(2,23^2=4,9729\)
\(2,24^2=5,0176\)
Igen kan vi stoppe analysen. Det tal, du leder efter, er mellem 2,23 og 2,24.
\(2,23
Men og nu? Hvilken af disse værdier med to decimaler vælger vi som en tilnærmelse af \(\sqrt5\)? Begge er gode muligheder, men bemærk, at den bedste er den, hvis firkant er tættest på 5:
\(5–2,23^2=5-4,9729=0,0271\)
\(2,24^2-5=5,0176-5=0,0176\)
dvs. \(2,24^2 \) er tættere på 5 end \(2,23^2\).
Således er den bedste tilnærmelse til to decimaler for \(\sqrt5\) é 2,24. Det skriver vi \(\sqrt5≈2,24\).
Find en tilnærmelse til to decimaler for \(\mathbf{\sqrt{20}}\).
Vi kunne starte på samme måde som i det foregående eksempel, dvs. lede efter nøjagtige rødder, hvis radicand er tæt på 20, men bemærk, at det er muligt at mindske værdien af radicand og lette konti:
\(\sqrt{20}=\sqrt{4·5}=\sqrt4·\sqrt5=2\sqrt5\)
Bemærk, at vi udførte nedbrydningen af radicand 20 og brugte en rooting-egenskab.
Hvordan nu \(\sqrt20=2\sqrt5\), kan vi bruge tilnærmelsen med to decimaler til \(\sqrt5\) fra det forrige eksempel:
\(\sqrt{20} ≈2.2,24 \)
\(\sqrt{20} ≈4,48\)
Observation: Da vi bruger et omtrentligt tal (\(\sqrt5≈2,24\)), er værdien 4,48 muligvis ikke den bedste tilnærmelse med to decimaler for \(\sqrt{20}\).
Læs også: Hvordan beregner man terningroden af et tal?
Forskelle mellem omtrentlig kvadratrod og nøjagtig kvadratrod
En nøjagtig kvadratrod er a rationelt tal. indse det \(\sqrt9\),\(\sqrt{0,16}\) det er \(\sqrt{121}\) er eksempler på nøjagtige kvadratrødder, som \(\sqrt{9}=3\), \(\sqrt{0,16}=0,4\) det er \(\sqrt{121}=11\). Desuden, når vi anvender den inverse operation (det vil sige potensering med eksponent 2), får vi radikanden. I de foregående eksempler har vi \(3^2=9\), \(0,4^2=0,16\) det er \(11^2=121\).
En upræcis kvadratrod er et irrationelt tal (det vil sige et tal med uendelige ikke-gentagende decimaler). Vi bruger således tilnærmelser i dens decimalrepræsentation. indse det \(\sqrt2\), \(\sqrt3\) det er \(\sqrt6\) er eksempler på ikke-præcise rødder, fordi \(\sqrt2≈1.4142135\), \(\sqrt3≈1,7320508\) det er \(\sqrt6≈2.44949\). Ydermere, når vi anvender den inverse operation (det vil sige potensering med eksponent 2), får vi en værdi tæt på radikanden, men ikke lig. I de foregående eksempler har vi \(1,4142135^2=1,999999824\), \(1,7320508^2=2,999999974\) det er \(2,44949^2=6,00000126\).
Løste øvelser på omtrentlig kvadratrod
Spørgsmål 1
Arranger følgende tal i stigende rækkefølge: \(13,\sqrt{150},\sqrt{144},14\).
Løsning
indse det \(\sqrt{150}\) er en ikke-nøjagtig kvadratrod og \(\sqrt{144}\) er nøjagtig (\(\sqrt{144}=12\)). Vi mangler således kun at identificere positionen af \(\sqrt{150}\).
Noter det \(13=\sqrt{169}\). I betragtning af, at jo større radicand, jo større værdi af kvadratroden, har vi det
\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < \sqrt{169}\)
Derfor har vi arrangeret tallene i stigende rækkefølge
\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < 13 < 14\)
spørgsmål 2
Blandt de følgende alternativer, hvilket er den bedste tilnærmelse med én decimal for tallet \(\sqrt{54}\)?
a) 6,8
b) 7.1
c) 7.3
d) 7,8
e) 8.1
Løsning
Alternativ C
Noter det \(\sqrt{49}\) det er \(\sqrt{64}\) er de nærmeste nøjagtige kvadratrødder af \(\sqrt{54}\). Som \(\sqrt{49}=7\) det er \(\sqrt{64}=8\), Vi skal
\(7
Lad os se nogle muligheder for tilnærmelse med én decimal for \(\sqrt{54}\):
\(7,1^2=50,41\)
\(7,2^2=51,84\)
\(7,3^2=53,29\)
\(7,4^2=54,76\)
Bemærk, at det ikke er nødvendigt at fortsætte med testene. Også blandt alternativerne er 7,3 den bedste tilnærmelse til én decimal for \(\sqrt{54}\).
Af Maria Luiza Alves Rizzo
Matematiklærer
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/raiz-quadrada-aproximada.htm