EN del gylden eller guddommelig proportion er en lighed forbundet med ideer om harmoni, skønhed og perfektion. Euklid af Alexandria, græsk matematiker, der levede omkring 300 f.Kr. C., var en af de første tænkere til at formalisere dette koncept, der indtil i dag fascinerer forskere fra forskellige områder.
Grunden til denne interesse er, at det gyldne snit kan observeres på en tilnærmelsesvis måde i naturen, herunder i frø og blade af planter og i menneskekroppen. Derfor er det gyldne snit genstand for undersøgelse af forskellige fagfolk, såsom biologer, arkitekter, kunstnere og designere.
Læs også: Tal pi - en af de vigtigste konstanter i matematik
Sammenfatning om det gyldne snit
Det gyldne snit er forholdet for \(a>b>0\) sådan at
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
Under disse forhold er årsagen DetB kaldes det gyldne snit.
Det gyldne snit er forbundet med forestillinger om balance, renhed og perfektion.
Det græske bogstav ϕ (læs: fi) repræsenterer det gyldne tal, som er konstanten opnået fra det gyldne snit.
I Fibonacci-sekvensen nærmer kvotienterne mellem hvert led og dets forgænger sig det gyldne tal.
Det gyldne rektangel er et rektangel, hvis sider er i det gyldne snit.
Hvad er det gyldne snit?
Overvej et linjestykke opdelt i to stykker: det største af længden Det og den mindste B. indse det a+b er målet for hele segmentet.
det gyldne snit er lighed blandt årsagerne\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) det er \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), dvs
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
I denne sammenhæng siger vi det Det det er B er i det gyldne snit.
Men for hvilke værdier af Det det er B har vi det gyldne snit? Det er det, vi vil se næste gang.
Hvordan beregner man det gyldne tal?
Grunden \(\frac{a}b\)(eller på samme måde, grunden \(\frac{a+b}a\)) resulterer i en konstant kaldet det gyldne tal og repræsenteret ved det græske bogstav ϕ. Det er således almindeligt at skrive
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)
For at beregne det gyldne tal, lad os overveje det gyldne snit for b = 1. Således kan vi nemt finde værdien af Det og få ϕ fra ligestilling \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).
Bemærk, at vi kan skrive det gyldne snit som følger ved at bruge krydsmultiplikationsegenskaben:
\(a^2=b⋅(a+b)\)
Ved at erstatte b = 1 har vi
\(a^2=1⋅(a+1)\)
\(a^2-a-1=0\)
Anvendelse af Bhaskaras formel for denne andengradsligning konkluderer vi, at den positive løsning af Det é
\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)
Som Det er et mål for et segment, vil vi se bort fra den negative løsning.
Så hvordan \(\frac{a}b=ϕ\), Den nøjagtige værdi af det gyldne tal er:
\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)
Ved at beregne kvotienten får vi Den omtrentlige værdi af det gyldne tal:
\(ϕ≈1,618033989\)
Se også: Hvordan løser man matematiske operationer med brøker?
Golden Ratio og Fibonacci-sekvensen
EN Fibonacci-sekvensen er en liste over tal hvor hvert led, startende fra det tredje, er lig med summen af de to forgængere. Lad os se på de første ti led i denne sekvens:
\(a_1=1\)
\(a_2=1\)
\(a_3=1+1=2\)
\(a_4=1+2=3\)
\(a_5=2+3=5\)
\(a_6=3+5=8\)
\(a_7=5+8=13\)
\(a_8=8+13=21\)
\(a_9=13+21=34\)
\(a_{10}=21+34=55\)
Som vi beregner kvotienten mellem hvert udtryk og dets forgænger i Fibonacci-sekvensen, vi nærmer os det gyldne tal ϕ:
\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)
\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)
\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1,5\)
\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1,6666...\)
\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1,6\)
\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1.625\)
\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1,6153...\)
\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1,61904...\)
\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1,61764…\)
Gyldne snit og det gyldne rektangel
En rektangel hvor den længste side Det og den mindre side B er i det gyldne snit det kaldes det gyldne rektangel. Et eksempel på et gyldent rektangel er et rektangel, hvis sider måler 1 cm og \(\frac{1+\sqrt5}2\) cm.
Få mere at vide: Hvad er direkte proportionale mængder?
Anvendelser af det gyldne snit
Bemærk, at vi indtil nu kun har studeret det gyldne snit i abstrakte matematiske sammenhænge. Dernæst vil vi se nogle anvendte eksempler, men forsigtighed er nødvendig: det gyldne snit præsenteres ikke nøjagtigt i nogen af disse tilfælde. Det, der findes, er analyser af forskellige sammenhænge, hvori det gyldne tal vises såledesomtrentlig.
Gyldne snit i arkitektur
Nogle undersøgelser hævder, at estimater af antallet af guld er observeret i visse forhold mellem dimensionerne af Cheops-pyramiden i Egypten og FN-hovedkvarterets bygning i New York.
Gyldne snit i menneskekroppen
Menneskelige kropsmål varierer fra person til person, og der er ingen perfekt kropstype. Men i det mindste siden det antikke Grækenland har der været debatter om en matematisk ideel krop (og totalt uopnåelig i virkeligheden) med målinger relateret til det gyldne snit. I denne teoretiske sammenhæng er der f.eks. forholdet mellem en persons højde og afstanden mellem deres navle og jorden ville være det gyldne tal.
gyldne snit i kunsten
Der er forskning i værkerne "The Vitruvian Man" og "Mona Lisa", af italieneren Leonardo da Vinci, som antyder brug af gyldne rektangler.
Det gyldne snit i naturen
Der er undersøgelser, der peger på en forholdet mellem det gyldne snit og måden, hvorpå bladene fra visse planter er fordelt på en stilk. Dette arrangement af blade kaldes phyllotaxy.
Golden Ratio i design
Det gyldne snit bliver også studeret og brugt inden for design som et projektsammensætningsværktøj.
Løste øvelser på det gyldne snit
Spørgsmål 1
(Enem) Et linjestykke er opdelt i to dele i det gyldne snit, når helheden er til en af delene i samme forhold, som denne del er til den anden. Denne proportionalitetskonstant er almindeligvis repræsenteret af det græske bogstav ϕ, og dens værdi er givet ved den positive løsning af ligningen ϕ2 = ϕ+1.
Ligesom magten \(ϕ^2\), kan de højere potenser af ϕ udtrykkes i formen \(aϕ+b\), hvor a og b er positive heltal, som vist i tabellen.
styrken \(ϕ^7\), skrevet på formen aϕ+b (a og b er positive heltal), er
a) 5ϕ+3
b) 7ϕ+2
c) 9ϕ+6
d) 11ϕ+7
e) 13ϕ+8
Løsning
Som \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), Vi skal
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
Anvendelse af det distributive,
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
Som \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
E alternativ.
spørgsmål 2
Bedøm hvert udsagn nedenfor om det gyldne tal som T (sandt) eller F (falsk).
jeg. Det gyldne tal ϕ er irrationelt.
II. Kvotienterne mellem hvert led og dets forgænger i Fibonacci-sekvensen nærmer sig værdien af ϕ.
III. 1,618 er afrundingen til tre decimaler af det gyldne tal ϕ.
Den korrekte rækkefølge, fra top til bund, er
a) V-V-V
b) F-V-F
c) V-F-V
d) F-F-F
e) F-V-V
Løsning
jeg. Rigtigt.
II. Rigtigt.
III. Rigtigt.
Alternativ A.
Kilder
FRANCISCO, S.V. fra L. Mellem fascinationen og virkeligheden i det gyldne snit. Afhandling (professionel kandidatgrad i matematik i nationalt netværk) – Institut for biovidenskab, bogstaver og eksakte videnskaber, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. São Paulo, 2017. Tilgængelig i: http://hdl.handle.net/11449/148903.
SALG, J. fra S. Det gyldne snit til stede i naturen. Afslutning af kursusarbejde (grad i matematik), Federal Institute of Education, Science and Technology i Piauí. Piauí, 2022. Tilgængelig i http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/handle/123456789/1551.
Af Maria Luiza Alves Rizzo
Matematiklærer
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/proporcao-aurea.htm
