DET 1. grads ligning er en ligning, der har en ukendt grad 1. Ligninger er matematiske sætninger, der har ukendte, som er bogstaver, der repræsenterer ukendte værdier, og lighed. Den matematiske sætning i 1. grads ligningen er Detx + B = 0, hvor Det og B er reelle tal, og Det er forskellig fra 0. Formålet med at skrive en 1. grads ligning er at finde, hvad der er værdien af det ukendte, der opfylder ligningen. Denne værdi er kendt som løsningen eller roden af ligningen.
Læs også: Eksponentiel ligning - ligningen, der har mindst én ukendt i en af sine eksponenter
Emner i denne artikel
- 1 - Sammenfatning af 1. grads ligning
- 2 - Hvad er en 1. grads ligning?
-
3 - Hvordan beregner man førstegradsligningen?
- → 1. grads ligning med en ukendt
- ? 1. grads ligning med to ubekendte
- 4 - Ligning af 1. grad i Enem
- 5 - Løste øvelser på 1. grads ligning
Sammenfatning af 1. grads ligning
1. grads ligning er en matematisk sætning, der har 1 grad ubekendte.
1. grads ligningen med én ukendt har en unik løsning.
Den matematiske sætning, der beskriver 1. grads ligning med én ukendt er Detx + B = 0.
For at løse en 1. grads ligning med en ukendt, udfører vi operationer på begge sider af ligheden, for at isolere det ukendte og finde dets værdi.
1. grads ligningen med to ubekendte har uendelige løsninger.
Den matematiske sætning, der beskriver 1. grads ligningen med to ubekendte er Detx + By + c = 0
1. grads ligningen er et tilbagevendende udtryk i Enem, som normalt kommer med spørgsmål, der kræver fortolkning af teksten og sammensætningen af ligningen, før den løses.
Hvad er 1. grads ligning?
Ligning er en matematisk sætning, der har en lighed og en eller flere ubekendte.. De ukendte er ukendte værdier, og vi bruger bogstaver, såsom x, y, z, til at repræsentere dem.
Det, der bestemmer graden af en ligning, er eksponenten for det ukendte. Dermed, når eksponenten for det ukendte har grad 1, har vi en ligning af 1. grad. Se eksempler nedenfor:
2x + 5 = 9 (1. grads ligning med en ukendt, x)
y – 3 = 0 (1. grads ligning med én ukendt, y)
5x + 3y – 3 = 0 (1. grads ligning med to ukendte, x og y)
Stop ikke nu... Der er mere efter annoncen ;)
Hvordan beregner man førstegradsligningen?
Vi repræsenterer en given situation som en ligning, når vi sigter mod det find de værdier, som det ukendte kan tage, der får ligningen til at holde stik, altså find løsningerne eller løsningen af ligningen. Lad os se nedenfor, hvordan man finder løsningen af en 1. grads ligning med en ukendt og løsningerne af en 1. grads ligning med to ukendte.
→ 1. grads ligning med en ukendt
DET 1. grads ligning med en ukendt er ligningen af typen:
\(ax+b=0\ \)
I den sætning Det og B er reelle tal. Vi bruger ligestillingssymbolet som reference. Før den har vi ligningens 1. led og efter lighedstegnet har vi ligningens 2. medlem.
For at finde løsningen til denne ligning søger vi at isolere variablen x. lad os trække fra B på begge sider af ligningen:
\(ax+b-b=0-b\ \)
\(ax=-\ b\)
Nu vil vi dividere med Det på begge sider:
\(\frac{ax}{a}=\frac{-b}{a}\)
\(x=\frac{-b}{a}\)
Vigtig:Denne proces med at udføre en handling på begge sider af ligningen beskrives ofte som "overgang til den anden side" eller "overgang til den anden side ved at udføre den omvendte operation".
Eksempel 1:
Find løsningen på ligningen:
2x - 6 = 0
Løsning:
For at isolere variablen x, lad os tilføje 6 til begge sider af ligningen:
\(2x-6+6\ =0+6\)
\(2x=6\)
Nu vil vi dividere med 2 fra begge sider:
\(\frac{2x}{2}=\frac{6}{2}\)
\(x=3\ \)
Vi finder som en løsning til ligningen x = 3. Det betyder, at hvis vi erstatter 3 i stedet for x, vil ligningen være sand:
\(2\cdot3-6=0\)
\(6-6=0\ \)
\(0=0\)
Eksempel 2:
Vi kan løse ligningen mere direkte ved hjælp af den praktiske metode:
\(5x+1=-\ 9\)
Lad os først definere, hvad der er det første medlem af ligningen, og hvad der er det andet medlem af ligningen:
For at finde løsningen af ligningen, vil vi isolere det ukendte på det første medlem af ligningen. Til dette vil det, der ikke er ukendt, blive videregivet til det andet medlem, der udfører den omvendte operation, begyndende med + 1. Efterhånden som den adderes, vil den overføres til det andet medlem ved at trække fra:
\(5x+1=-\ 9\ \)
\(5x=-\ 9-1\ \)
\(5x=-\ 10\)
Vi vil have værdien af x, men vi finder værdien af 5x. Da 5 er at gange x, vil det gå til højre ved at udføre den omvendte operation af multiplikation, altså opdeling.
\(5x=-\ 10\)
\(x=\frac{-10}{5}\)
\(x=-\ 2\)
Løsningen til denne ligning er x = -2.
Eksempel 3:
Løs ligningen:
\(5x+4=2x-6\)
For at løse denne ligning vil vi indledningsvis sætte de udtryk, der har en ukendt på det første medlem, og de led, der ikke har en ukendt på det andet medlem. For at gøre dette, lad os identificere dem:
\({\farve{rød}5}{\farve{rød}x}+ 4 = {\farve{rød}2}{\farve{rød}x}\ –\ 6\)
I rødt er de udtryk, der har en ukendt, 5x og 2x, og i sort, de termer, der ikke har nogen ukendt. Da + 4 ikke har nogen ukendt, lad os videregive det til det andet medlem ved at trække fra.
\(\farve{rød}{5x}=\farve{rød}{2x}-6-4\)
Bemærk, at 2x har en ukendt, men er i det andet medlem. Vi sender det til det første medlem, trækker 5x fra:
\({\farve{rød}{5x}-\farve{rød}{2x}=-6-4}\)
\(3x = - 10\)
Når vi nu passerer 3-delingen, har vi det:
\(x=-\frac{10}{3}\)
Vigtig: Løsningen til en ligning kan være en brøk, som i eksemplet ovenfor.
◆ Videolektion om 1. grads ligning med en ukendt
➝ 1. grads ligning med to ubekendte
Når der er en 1. grads ligning, der har to ubekendte, er der ikke en enkelt løsning, men snarere uendelige løsninger. En 1. grads ligning med to ubekendte er en ligning af typen:
\(ax+by+c=0\)
For at finde nogle af de uendelige løsninger af ligningen, tildeler vi en værdi til en af dens variable og finder værdien af den anden variabel.
Eksempel:
Find 3 mulige løsninger på ligningen:
\(2x+y+3=0\)
Løsning:
For at finde 3 løsninger vælger vi nogle værdier for variablen x, startende med x = 1:
\(2\cdot1+y+3=0\)
\(2+y+3=0\ \)
\(y+5=0\)
Ved at isolere y i det første medlem har vi det:
\(y=0-5\)
\(y=-\ 5\)
Så en mulig løsning på ligningen er x = 1 og y = - 5.
For at finde endnu en løsning af ligningen, lad os tildele en ny værdi til enhver af variablerne. Vi gør y = 1.
\(2x+1+3=0\ \)
\(2x+4=0\ \)
Isoler x:
\(2x=-\ 4\ \)
\(x=\frac{-4}{2}\)
\(x=-\ 2\)
Den anden løsning af denne ligning er x = - 2 og y = 1.
Til sidst, for at finde en tredje løsning, vælger vi en ny værdi for en af dine variable. Vi laver x = 0.
\(2\cdot0+y+3=0\)
\(0+y+3=0\)
\(y+3=0\ \)
\(y=0-3\)
\(y=-\ 3\ \)
Den tredje løsning er x = 0 og y = -3.
Vi kan repræsentere disse tre løsninger som ordnede par på formen (x, y). Løsningerne til ligningen var:
\(\venstre (1,-5\højre);\ \venstre(-2,\ 1\højre);\venstre (0,-3\højre)\)
Vigtig: Da denne ligning har to ubekendte, har vi uendelige løsninger. Værdierne for variablerne blev valgt tilfældigt, så vi kunne tildele andre helt andre værdier til variablerne og finde tre andre løsninger til ligningen.
Få mere at vide: 2. grads ligning - hvordan regner man?
1. grads ligning i Enem
Spørgsmål, der involverer 1. grads ligninger i Enem kræver, at kandidaten kan omdanne problemsituationer til ligninger, ved hjælp af ytringsdata. For klarhed, se Matematik område 5 kompetence.
Område 5 Kompetence: Modellere og løse problemer, der involverer socioøkonomiske eller teknisk-videnskabelige variabler, ved hjælp af algebraiske repræsentationer.
Bemærk så, at i Enem forventes det, at kandidaten kan modellere problemsituationer i vores daglige liv og løse dem ved hjælp af en ligning. Inden for denne kompetence er der to specifikke færdigheder, der involverer ligninger, som Enem søger at vurdere: færdighed 19 og færdighed 21.
H19: Identificer algebraiske repræsentationer, der udtrykker sammenhængen mellem størrelser.
H21: Løs en problemsituation, hvis modellering involverer algebraisk viden.
Så hvis du studerer til Enem, er det ud over at mestre opløsningen af 1. grads ligninger vigtigt at træne i fortolkning af problemer, der involverer ligninger, fordi at udvikle evnen til at modellere problemsituationer ved at skrive dem som en ligning, for Enem, er lige så vigtig som at kunne løse ligning.
Løste øvelser på 1. grads ligning
Spørgsmål 1
(Enem 2012) Et produkts udbuds- og efterspørgselskurver repræsenterer henholdsvis de mængder, som sælgere og forbrugere er villige til at sælge afhængigt af produktets pris. I nogle tilfælde kan disse kurver repræsenteres af lige linjer. Antag, at mængderne af udbud og efterspørgsel efter et produkt er henholdsvis repræsenteret ved ligningerne:
QO = –20 + 4P
QD = 46 - 2P
hvori QO er leveringsmængde, QD er den efterspurgte mængde og P er prisen på produktet.
Ud fra disse udbuds- og efterspørgselsligninger finder økonomer markedsligevægtsprisen, det vil sige når QO og QD lige. For den beskrevne situation, hvad er værdien af ligevægtsprisen?
a) 5
B) 11
C) 13
D) 23
E) 33
Løsning:
Alternativ B
For at finde ligevægtsprisen sætter vi blot lighedstegn mellem de to ligninger:
\(Q_O=Q_D\)
\(–20+4P=46 –2P\)
\(4P+2P=46+20\)
\(6P=66\)
\(P=\frac{66}{6}\)
\(P=11\)
spørgsmål 2
(Enem 2010) Tredobbeltspring er en atletikmodalitet, hvor atleten hopper på én fod, et skridt og et spring i nævnte rækkefølge. Springet med start på den ene fod vil blive udført, så atleten lander først på samme fod, som gav starten; i skridtet vil han lande med den anden fod, hvorfra springet udføres.
Tilgængelig på: www.cbat.org.br (tilpasset).
En atlet i trespringsmodaliteten indså, efter at have studeret sine bevægelser, at fra anden til første hop faldt rækkevidden med 1,2 m, og fra tredje til andet hop faldt rækkevidden med 1,5 m. Hvis du ønsker at nå målet på 17,4 m i denne begivenhed og i betragtning af dine studier, skulle afstanden nået i første spring være mellem
A) 4,0 m og 5,0 m.
B) 5,0 m og 6,0 m.
C) 6,0 m og 7,0 m.
D) 7,0 m og 8,0 m.
E) 8,0 m og 9,0 m.
Løsning:
Alternativ D
I det første spring når han en afstand på x meter.
På andet spring falder afstanden med 1,2 m fra første spring, så han når en afstand på x – 1,2 meter.
På tredje hop falder afstanden med 1,5 m fra andet hop, så distancen tilbagelagt på tredje hop er x – 1,2 – 1,5 meter, hvilket er det samme som x – 2,7 meter.
Vi ved, at summen af disse afstande skal svare til 17,4 meter, så:
\(x+x-1,2+x-2,7=17,4\)
\(3x-3,9=17,4\)
\(3x=17,4+3,9\)
\(3x=21,3\)
\(x=\frac{21,3}{3}\)
\(x=7,1\)
Således er afstanden nået i første spring mellem 7,0 og 8,0 meter.
Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer
