Sekskant Det er polygon som har 6 sider. Det er regelmæssigt, når alle sider og indvendige vinkler er kongruente med hinanden. Det er uregelmæssigt, når det ikke har disse egenskaber. Det første tilfælde er det mest undersøgte, for når sekskanten er regulær, har den specifikke egenskaber og formler, der giver os mulighed for at beregne dens areal, omkreds og apotem.
Læs også: Hvad er en losvinkel?
Abstrakt om sekskant
Sekskant er en 6-sidet polygon.
Det er regelmæssigt, når alle sider er kongruente.
Det er uregelmæssigt, når alle sider ikke er kongruente.
I en regulær sekskant måler hver indvendig vinkel 120°.
Summen af vinkler ydre kanter af en regulær sekskant er altid 360°.
For at beregne arealet af en regulær sekskant bruger vi formlen:
\(A=\frac{3L^2\sqrt3}{2}\)
O omkreds af en sekskant er summen af dens sider. Når det er almindeligt, har vi:
P = 6L
Apotemet for en regulær sekskant beregnes ved formlen:
\(a=\frac{\sqrt3}{2}L\)
Stop ikke nu... Der er mere efter annoncen ;)
Hvad er sekskant?
Sekskant er enhver polygon, der
har 6 sider, derfor 6 spidser og 6 vinkler. Da det er en polygon, er det en lukket flad figur med sider, der ikke skærer hinanden. Sekskanten er en tilbagevendende form i naturen, som i honningkager, i strukturer af organisk kemi, i skallerne på visse skildpadder og i snefnug.Video lektion om polygoner
sekskantede elementer
En sekskant består af 6 sider, 6 spidser og 6 indvendige vinkler.
Hjørner: punkterne A, B, C, D, E, F.
sider: segmenterne \(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE},\overline{EF},\ \overline{AF}\).
Indvendige vinkler: vinklerne a, b, c, d, f.
Klassificering af sekskanter
Sekskanter kan ligesom andre polygoner klassificeres på to måder.
regulær sekskant
Sekskanten er regelmæssig, når den har alle dens kongruente sider — følgelig vil deres vinkler også være kongruente. Den regulære sekskant er den vigtigste af alle, idet den er den mest studerede. Det er muligt at beregne flere af dets aspekter, såsom arealet, med specifikke formler.
Observation: Den regulære sekskant kan opdeles i 6 ligesidede trekanter, altså trekanter med alle sider lige store.
→ uregelmæssig sekskant
Uregelmæssig sekskant er en, der har sider med forskellige foranstaltninger. Det kan være konveks eller ikke-konveks.
konveks uregelmæssig sekskant
sekskanten er konveks når du har alt indvendige vinkler mindre end 180°.
→ Uregelmæssig ikke-konveks sekskant
En sekskant er ikke-konveks, når den har indvendige vinkler større end 180°.
sekskantede egenskaber
→ Antal diagonaler i en sekskant
Den første vigtige egenskab er det i en konveks sekskant er der altid 9 diagonaler. Vi kan finde disse 9 diagonaler geometrisk:
Vi kan også finde diagonalerne algebraisk ved at bruge følgende formel:
\(d=\frac{n\venstre (n-3\højre)}{2}\)
Hvis vi erstatter 6 i ligningen, har vi:
\(d=\frac{6\cdot\venstre (6-3\højre)}{2}\)
\(d=\frac{6\cdot3}{2}\)
\(d=\frac{18}{2}\)
\(d=9\)
Så en konveks sekskant vil altid have 9 diagonaler.
Få mere at vide: Rektangulær blokdiagonal — segment, der forbinder to af dets hjørner, der ikke er på samme flade
→ Indvendige vinkler af en sekskant
I en sekskant er summen af dens indvendige vinkler er 720°. For at udføre denne sum skal du blot erstatte 6 i formlen:
\(S_i=180\venstre (n-2\højre)\)
\(S_i=180\venstre (6-2\højre)\)
\(S_i=180\cdot4\)
\(S_i=720\)
I en regulær sekskant vil de indvendige vinkler altid måle 120° hver, pga
720°: 6 = 120°
→ Udvendige vinkler af en regulær sekskant
Hvad angår de udvendige vinkler, ved vi, at Deres sum er altid lig med 360°. Da der er 6 udvendige vinkler, vil hver af dem måle 60°, som
360°: 6 = 60°
→ Almindelig sekskantet apotem
Et apotem af en regulær polygon anses for at værelinjestykke forbinder midten af polygonen til midtpunkt på din side. Som vi ved, er den regulære sekskant sammensat af 6 ligesidede trekanter, så apotem svarer til højden af en af disse ligesidede trekanter. Værdien af dette segment kan beregnes ved hjælp af formlen:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
→ omkredsen af sekskanten
For at beregne omkredsen af en sekskant skal du blot udføre summen af dets 6 sider. Når sekskanten er regulær, er dens sider kongruente, så det er muligt at beregne omkredsen af sekskanten ved hjælp af formlen:
P = 6L
→ regulært sekskantet område
Da vi ved, at den regulære sekskant er sammensat af 6 ligesidede trekanter med sider, der måler L, er det muligt at udlede en formel til beregning af dens areal ved hjælp af beregningen af område af en trekant ligesidet ganget med 6.
\(A=6\cdot\frac{L^2\sqrt3}{4}\)
Bemærk at det er muligt forenkling ved at dividere med 2, genererer formlen til beregning af arealet af sekskanten:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
Sekskant indskrevet i en cirkel
Vi siger, at en polygon er indskrevet i a omkreds når han er inde i cirklen, og dens toppunkter er punkter på denne. Vi kan repræsentere den regulære sekskant indskrevet i en cirkel. Når vi laver denne repræsentation, er det muligt at verificere, at længden af cirklens radius er lig med længden af siden af sekskanten.
Ved også: Cirkel og omkreds - hvad er forskellen?
Sekskant omskrevet i en cirkel
Vi siger, at en polygon er omgivet af en cirkel, når omkreds er inde i denne polygon. Vi kan repræsentere den omskrevne regulære sekskant. I dette tilfælde er cirklen tangent til midtpunktet af hver side af sekskanten, hvilket gør cirklens radius lig med sekskantens apotem.
sekskantet baseret prisme
DET Plan geometri er grundlag for undersøgelser af Rumlig geometri. O sekskant kan være til stede i bunden af geometriske faste stoffer, som i prismer.
For at finde volumen af en prisme, beregner vi produktet af arealet af basen og højden. Da dens base er en sekskant, er dens bind kan beregnes ved:
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Læs også: Volumen af geometriske faste stoffer - hvordan beregnes?
Sekskantet basepyramide
Ud over det sekskantede prisme, der er også pyramider sekskantet base.
at opdage volumen af en pyramide af sekskantet base, beregner vi produktet af arealet af basen, højden og dividerer med 3.
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h: 3\)
Bemærk, at vi gange og dividere med tre, hvilket giver mulighed for a forenkling. Så volumenet af en sekskantet pyramide beregnes ved formlen:
\(V=\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Løste øvelser på sekskant
Spørgsmål 1
Et land er formet som en regulær sekskant. Du ønsker at omringe dette område med pigtråd, så tråden går rundt om territoriet 3 gange. Velvidende, at der i alt blev brugt 810 meter ledning til at indhegne hele landet, måler området af denne sekskant ca.
(Brug \(\sqrt3=1,7\))
A) 5102 m²
B) 5164 m²
C) 5200 m²
D) 5225 m²
E) 6329 m²
Løsning:
Alternativ B
Omkredsen af den regulære sekskant er
\(P=6L\)
Da der blev kørt 3 omgange, blev der brugt i alt 270 meter på at gennemføre en enkelt omgang, da vi ved, at:
810: 3 = 270
Så vi har:
\(6L=270\)
\(L=\frac{270}{6}\)
\(L=45\ meter\)
Ved at kende længden af siden, vil vi beregne arealet:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{{45}^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{2025\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot1012.5\sqrt3\)
\(A=3037.5\sqrt3\)
\(A=3037.5\cdot1.7\)
\(A=5163,75m^2\)
Afrunding får vi:
\(A\ca.5164m^2\)
spørgsmål 2
(PUC - RS) For et mekanisk gear vil du lave en del med en regulær sekskantet form. Afstanden mellem de parallelle sider er 1 cm, som vist på nedenstående figur. Siden af denne sekskant måler ______ cm.
DET) \(\frac{1}{2}\)
B) \(\frac{\sqrt3}{3}\)
Ç) \(\sqrt3\)
D) \(\frac{\sqrt5}{5}\)
E) 1
Løsning:
Alternativ B
Med hensyn til den regulære sekskant ved vi, at dens apotem er målet fra midten til midtpunktet af en af siderne. Således er apotemet halvdelen af afstanden angivet på billedet. Så vi skal:
\(2a=1cm\)
\(a=\frac{1}{2}\)
Apotemet er da lig med \(\frac{1}{2}\). Der er et forhold mellem siderne af sekskanten og apotemet, for i en regulær sekskant har vi:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
Da vi kender værdien af apotem, kan vi erstatte \(a=\frac{1}{2}\) i ligningen:
\(\frac{1}{2}=\frac{L\sqrt3}{2}\)
\(1=L\sqrt3\)
\(L\sqrt3=1\)
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\)
Rationalisering af brøken:
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\)
\(L=\frac{\sqrt3}{3}\)
Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer
