Trigonometriske forhold: sinus, cosinus og tangens er relationer mellem siderne i en retvinklet trekant. Ved hjælp af disse forhold er det muligt at bestemme ukendte værdier af vinkler og sidemål.
Øv din viden med de løste problemer.
spørgsmål om sinus
Spørgsmål 1
være vinklen lig med 30° og hypotenusen 47 m, beregn højdemålet Det af trekanten.
Det trigonometriske sinusforhold er kvotienten mellem målene på den modsatte side af vinklen og hypotenusen.
Isolerende Det på den ene side af ligestilling har vi:
Fra en trigonometrisk tabel har vi, at sinus på 30° er lig med , erstatter i ligningen:
Derfor er trekantens højde 23,50 m.
spørgsmål 2
Den øverste visning af en park viser to stier for at komme til punkt C fra punkt A. En af mulighederne er at tage til B, hvor der er drikkefontæner og rastepladser, og derefter til C. Hvis en besøgende i parken ønsker at gå direkte til C, hvor mange meter vil han så have gået mindre end den første mulighed?
Overvej tilnærmelser:
sin 58° = 0,85
cos 58° = 0,53
solbrun 58° = 1,60
Svar: Forlader A og går direkte til C, er turen 7,54 m kortere.
Trin 1: Beregn afstand.
Trin 2: Bestem afstanden.
Trin 3: Bestem afstanden .
Trin 4: Bestem forskellen mellem de to stier.
spørgsmål 3
En svævebane blev installeret, der forbinder en base til toppen af et bjerg. Til installationen blev der brugt 1358 m kabler, anbragt i en vinkel på 30° i forhold til jorden. Hvor højt er bjerget?
Korrekt svar: Bjergets højde er 679 m.
Vi kan bruge det trigonometriske sinusforhold til at bestemme bjergets højde.
Fra en trigonometrisk tabel har vi sin 30° = 0,5. Da sinus er forholdet mellem den modsatte side og hypotenusen, bestemmer vi højden.
spørgsmål 4
(CBM-SC, soldat-2010) For at hjælpe en person i en lejlighed under en brand, brandmænd vil bruge en 30m stige, som placeres som vist på figuren nedenfor, og danner en vinkel med jorden af 60. Hvor langt er lejligheden fra gulvet? (Brug sen60º=0,87; cos60º=0,5 og tg60º= 1,73)
a) 15 m.
b) 26,1 m.
c) 34,48 m.
d) 51,9 m.
Korrekt svar: b) 26,1 m.
For at bestemme højden bruger vi 60° sinus. Kalder højden h og bruger 60° sinus svarende til 0,87.
Spørgsmål om cosinus
spørgsmål 5
Cosinus er forholdet mellem den side, der støder op til en vinkel, og målingen af hypotenusen. Væren lig med 45°, beregn målet for benet, der støder op til vinklen alfa, i trekanten på figuren.
overveje
Tilnærmelse af kvadratrodsværdien af 2:
Mål på det tilstødende ben er cirka 19,74 m.
spørgsmål 6
Under en fodboldkamp kaster spiller 1 til spiller 2 i en vinkel på 48°. Hvor langt skal bolden rejse for at nå spiller 2?
Overveje:
sin 48° = 0,74
cos 48° = 0,66
solbrun 48° = 1,11
Korrekt svar: Bolden skal tilbagelægge en afstand på 54,54 m.
Målingen mellem spiller 1 og spiller 2 er hypotenusen af den retvinklede trekant.
Cosinus for 48°-vinklen er forholdet mellem dens tilstødende side og hypotenusen, hvor den tilstødende side er afstanden mellem midtbanen og det store område.
52,5 - 16,5 = 36 m
Beregning af cosinus, hvor h er hypotenusen.
spørgsmål 7
Et tag anses for at være gavl, når der er to fald. I et værk bygges et tag, hvor mødet mellem dets to farvande er præcis midt på pladen. Hældningsvinklen for hvert vand i forhold til pladen er 30°. Pladen er 24 m lang. For at bestille fliserne, selv før den struktur, der skal understøtte taget, er færdig, er det nødvendigt at kende længden af hvert vand, som vil være:
Da pladen er 24 m lang, bliver hvert vand 12 m.
Ved at kalde længden af hvert tagvand L, har vi:
Rationalisering af brøken for at få det irrationelle tal af nævneren.
laver,
Derfor vil længden af hvert tagvand være cirka 13,6 m.
spørgsmål 8
Tangent er forholdet mellem siden modsat en vinkel og dens tilstødende side. være vinklen lig med 60°, beregn højden af trekanten.
Tangent spørgsmål
spørgsmål 9
En person ønsker at kende bredden af en flod, før han krydser den. Til dette sætter den et referencepunkt på den anden kant, som for eksempel et træ (punkt C). I den position du er i (punkt B), gå 10 meter til venstre, indtil der dannes en vinkel på 30° mellem punkt A og punkt C. Beregn bredden af floden.
overveje .
For at beregne bredden af floden, som vi vil kalde L, vil vi bruge vinklens tangent .
spørgsmål 10
(Enem 2020) Pergolado er navnet på en type tag designet af arkitekter, almindeligvis i kvadrater og
haver, for at skabe et miljø for mennesker eller planter, hvor der er et fald i mængden af lys,
afhængig af solens position. Den er lavet som en palle af lige store bjælker, placeret parallelt og perfekt
på række, som vist på figuren.
En arkitekt designer en pergola med 30 cm spænd mellem dens bjælker, så den i
sommersolhverv, udføres solens bane i løbet af dagen i et plan vinkelret på retningen af
stråler, og at eftermiddagssolen, når dens stråler gør 30° med stiftpositionen, genererer halvdelen
af lyset, der passerer i pergolaen ved middagstid.
For at imødekomme det af arkitekten udarbejdede projektforslag, skal pergolabjælkerne være
konstrueret så højden, i centimeter, er så tæt som muligt på
a) 9.
b) 15.
c) 26.
d) 52.
e) 60.
Rigtigt svar: c) 26.
For at forstå situationen, lad os lave en oversigt.
Billedet til venstre viser forekomsten af sollys ved middagstid, med 100 %. Billedet til venstre er det, der interesserer os. Det tillader kun 50 % af solens stråler at passere gennem pergolaen med en hældning på 30 %.
Vi bruger det tangent trigonometriske forhold. Tangens af en vinkel er forholdet mellem den modsatte side og den tilstødende side.
Når vi kalder højden af pergola-stykket h, har vi:
Lav en tangent på 30° =
Lad os rationalisere den sidste brøk, så vi ikke efterlader roden af tre, et irrationelt tal, i nævneren.
laver,
Af de tilgængelige muligheder for spørgsmålet er den nærmeste bogstavet c, højden af bjælkerne skal være cirka 26 cm.
spørgsmål 11
(Enem 2010) En atmosfærisk ballon, opsendt i Bauru (343 kilometer nordvest for São Paulo), om natten sidste søndag faldt det i mandags i Cuiabá Paulista i Presidente Prudente-regionen, skræmmende
landmænd i regionen. Artefakten er en del af Hibiscus Project-programmet, udviklet af Brasilien, Frankrig,
Argentina, England og Italien, for at måle ozonlagets adfærd, og dets nedstigning fandt sted
efter overholdelse af den forventede måletid.
På datoen for begivenheden så to personer ballonen. Den ene var 1,8 km fra ballonens lodrette position
og så det i en vinkel på 60°; den anden var 5,5 km fra ballonens lodrette position, på linje med
først og i samme retning, som det ses på figuren, og så det i en vinkel på 30°.
Hvad er den omtrentlige højde af ballonen?
a) 1,8 km
b) 1,9 km
c) 3,1 km
d) 3,7 km
e) 5,5 km
Rigtigt svar: c) 3,1 km
Vi bruger 60° tangenten, som er ens . Tangenten er det trigonometriske forhold mellem den modsatte side af vinklen og dens tilstødende.
Derfor var ballonens højde cirka 3,1 km.
