Flade tal Område: Løst og kommenteret øvelse

Det flade figurareal repræsenterer omfanget af figurens udvidelse i planet. Som flade figurer kan vi nævne trekanten, rektanglet, romben, trapezformen, cirklen, blandt andre.

Brug nedenstående spørgsmål til at kontrollere din viden om dette vigtige emne for geometri.

Konkurrenceproblemer løst

Spørgsmål 1

(Cefet / MG - 2016) Et firkantes areal skal opdeles i fire lige store dele, også firkantede, og i en af dem skal en oprindelig skovreservat (udklækket område) opretholdes som vist i figur a følge efter.

Spørgsmål Cefet-mg 2016 areal med flade tal

At vide, at B er midtpunktet for segment AE og C er midtpunktet for segment EF, det skraverede område, i m², Giv mig

a) 625,0.
b) 925,5.
c) 1562,5.
d) 2500,0.

Se svar

Korrekt alternativ: c) 1562.5.

Når vi observerer figuren, bemærker vi, at det skraverede område svarer til arealet af pladsen med en side 50 m minus arealet af trekanterne BEC og CFD.

Målingen af side BE, af trekanten BEC, er lig med 25 m, da punkt B deler siden i to kongruente segmenter (midtpunktet i segmentet).

Det samme sker med siderne EC og CF, det vil sige, at deres målinger også er lig med 25 m, da punkt C er midtpunktet for segment EF.

instagram story viewer

Således kan vi beregne arealet af trekanter BEC og CFD. I betragtning af to sider kendt som basen, vil den anden side svare til højden, da trekanter er rektangler.

Beregning af arealet af firkanten og trekanterne BEC og CFD har vi:

lige A med kvadratisk abonnement er lig med lige L kvadrateret lige A med kvadratisk AEFD-abonnement slutning af abonnementet lig med 50,50 lig med 2500 lige mellemrum m kvadrateret lige A med stigning i abonnement lig med lige tæller B. lige h over nævneren 2 slutningen af fraktionen lige A med forøgelse BED-abonnementet slutningen af abonnementet lig med tælleren 25,25 over nævneren 2 slutningen af fraktionen lig med 625 over 2 lig med 312 komma 5 lige mellemrum m kvadrateret lige A med inkrement CFD-abonnement slutning af abonnement lig med tæller 25,50 over nævneren 2 slutning af brøk svarende til 1250 over 2 lig med 625 lige rum m kvadrateret lige Et rumareal område skraveret rum vil være plads fundet pladsfrembringelse minus, hvis to punkter lige A med tegnet lige h lig med 2500 minus 625 minus 312 komma 5 svarende til 1562 komma 5 lige mellemrum m ao firkant

Derfor er det skraverede område i m², måler 1562,5.

spørgsmål 2

(Cefet / RJ - 2017) En firkant med en x-side og en ligesidet trekant med en y-side har områder af samme mål. Således kan det siges, at x / y-forholdet er lig med:

lige en højre parentes plads tæller kvadratroden af 6 over nævneren 4 slutningen af brøkelen lige b højre parentes plads 3 over 2 lige c parentes højre plads tæller kvadratroden af 3 over nævneren 4 slutningen af fraktionen lige d parentesen højre tælleren fjerde rod af 3 over nævneren 2 slutningen af brøkdel

Se svar

Korrekt alternativ: lige d højre parentes tæller fjerde rod af 3 over nævneren 2 slutningen af brøkdel .

Oplysningerne i problemet er, at områderne er de samme, det vil sige:

lige A med tegnet firkant svarer til lige A med tegnet trekant

Arealet af trekanten findes ved at multiplicere basismålingen med højdemålingen og dividere resultatet med 2. Da trekanten er ligesidig og siden lig med y, gives dens højdeværdi af:

lige h er lig med lige tæller L kvadratroden på 3 over nævneren 2 slutningen af brøkdel er lig den lige tælleren y kvadratroden på 3 over nævneren 2 slutningen af brøkdel Udskiftning rum dette rum værdi værdi i rum formel rum rum område rum rum plads trekant komma rum vi har to lige punkter A med tegnet trekant lig med tælleren lige b. lige h over nævneren 2 slutning af brøk svarende til lige tæller y. venstre parentes start stil viser tæller lige y kvadratroden af 3 over nævneren 2 slutningen af brøkdelen slutningen af stil højre parentes over nævneren 2 slutningen af brøk svarende til tælleren lige y kvadrat kvadratroden af 3 over nævneren 4 slutningen af brøkdel Udligner plads som pladsområder to punkter lige x kvadratisk lig en tæller lige y kvadrat kvadratroden på 3 over nævneren 4 slutningen af brøk Beregner lige mellemrum til mellemrum to point lige x kvadrat over lige y til kvadrat er lig med tæller kvadratroden på 3 over nævneren 4 slutningen af brøkdelen dobbeltpil til højre lige x over lige y er lig med kvadratroden af rodtælleren kvadrat med 3 over nævneren 4 slutningen af fraktionen slutningen af roden dobbeltpil til højre lige x over lige y lig med tælleren fjerde rod på 3 over nævneren 2 slutningen af brøkdel

Derfor kan det siges, at x / y-forholdet er lig med tæller fjerde rod af 3 over nævneren 2 slutningen af brøkdel .

spørgsmål 3

(IFSP - 2016) En offentlig firkant i form af en cirkel har en radius på 18 meter. På baggrund af ovenstående skal du markere det alternativ, der præsenterer dit område.

a) 1.017,36 m²
b) 1.254,98 m²
c) 1.589,77 m²
d) 1.698,44 m²
e) 1.710,34 m²

Se svar

Korrekt alternativ: a) 1017, 36 m².

For at finde kvadratets areal skal vi bruge formlen til cirkelarealet:

A = π.R²

Ved at erstatte radiusværdien og overveje π = 3.14 finder vi:

A = 3,14. 18² = 3,14. 324 = 1017, 36 m²

Derfor er kvadratarealet 1017, 36 m².

spørgsmål 4

(IFRS - 2016) Et rektangel har x- og y-dimensioner, der udtrykkes af x-ligningerne²= 12 og (y - 1)² = 3.

Omkredsen og arealet af dette rektangel er henholdsvis

a) 6√3 + 2 og 2 + 6√3
b) 6√3 og 1 + 2√3
c) 6√3 + 2 og 12
d) 6 og 2√3
e) 6√3 + 2 og 2√3 + 6

Se svar

Korrekt alternativ: e) 6√3 + 2 og 2√3 + 6.

Lad os først løse ligningerne for at finde værdierne for x og y:

x²= 12 ⇒ x = √12 = √4.3 = 2√3
(y - 1) ²= 3 ⇒ y = √3 + 1

Rektanglets omkreds vil være lig med summen af alle sider:

P = 2,2√3 + 2. (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2

For at finde området skal du blot gange x.y:

A = 2√3. (√3 + 1) = 2√3 + 6

Derfor er omkredsen og arealet af rektanglet henholdsvis 6√3 + 2 og 2√3 + 6.

spørgsmål 5

(Apprentice Sailor - 2016) Analyser følgende figur:

Ved at vide, at EP er radius for den midterste halvcirkel i E, som vist i figuren ovenfor, skal du bestemme værdien af det mørkeste område og kontrollere den rigtige mulighed. Data: antal π = 3

a) 10 cm²
b) 12 cm²
c) 18 cm²
d) 10 cm²
e) 24 cm²

Se svar

Korrekt alternativ: b) 12 cm².

Det mørkeste område findes ved at tilføje området med halvcirkel til området af trekanten ABD. Lad os starte med at beregne arealet af trekanten. Vær opmærksom på, at trekanten er et rektangel.

Lad os kalde AD-siden af x og beregne dens mål ved hjælp af Pythagoras sætning, som angivet nedenfor:

5²= x² + 3²
x² = 25 - 9
x = √16
x = 4

Når vi kender AD-sidemålet, kan vi beregne arealet af trekanten:

lige A med trekant ABD-tegnsnit af abonnement svarende til tæller 3.4 over nævneren 2 slutning af brøkdel lig med 12 over 2 lig med 6 mellemrum cm i kvadrat

Vi skal stadig beregne arealet af halvcirkel. Bemærk, at dens radius vil være lig med halvdelen af målingen på AD-siden, så r = 2 cm. Halvkredsområdet vil være lig med:

lige A lig med πr kvadrat over 2 lig med tæller 3.2 kvadrat over nævneren 2 slutning af brøk svarende til 6 mellemrum cm i kvadrat

Det mørkeste område findes ved at gøre: A_T= 6 + 6 = 12 cm²

Derfor er værdien af det mørkeste område 12 cm².

spørgsmål 6

(Enem - 2016) En mand, far til to børn, ønsker at købe to grunde med områder af samme mål, en for hvert barn. En af de besøgte lande er allerede afgrænset, og selvom den ikke har et konventionelt format (som vist i figur B), glædede den den ældste søn og blev derfor købt. Den yngste søn har et arkitektonisk projekt til et hus, han vil bygge, men til det har han brug for af et terræn i rektangulær form (som vist i figur A), hvis længde er 7 m længere end bredde.

For at tilfredsstille den yngste søn skal denne herre finde et rektangulært stykke jord, hvis mål, henholdsvis i meter, i længden og i bredden, er ens

a) 7,5 og 14,5
b) 9,0 og 16,0
c) 9.3 og 16.3
d) 10,0 og 17,0
e) 13,5 og 20,5

Se svar

Korrekt alternativ: b) 9.0 og 16.0.

Da arealet i figur A er lig med arealet i figur B, lad os først beregne dette område. Lad os dele figur B som vist på billedet nedenfor:

Bemærk, at når vi deler figuren, har vi to højre trekanter. Derfor vil arealet i figur B være lig med summen af arealerne for disse trekanter. Vi beregner disse områder:

lige A med lige B 1 slutning af abonnement svarende til tæller 21.3 over nævneren 2 slutning af brøk svarende til 63 over 2 lig med 31 komma 5 lige mellemrum m kvadreret lige A med lige B 2 abonnent ende af abonnement lig med tæller 15.15 over nævneren 2 ende af brøk svarende til 225 over 2 er lig med 112 komma 5 lige mellemrum m kvadrateret lige A med abonnement lige B svarer til 112 komma 5 plus 31 komma 5 er lig med 144 lige mellemrum m ao firkant

Da figur A er et rektangel, findes dets område ved at gøre:

DET_DET = x. (x + 7) = x²+ 7x

Ved at ligne arealet i figur A med den værdi, der er fundet for området i figur B, finder vi:

x² + 7x = 144
x² + 7x - 144 = 0

Lad os løse 2. graders ligning ved hjælp af Bhaskara's formel:

trin svarende til 49 minus 4.1. venstre parentes minus 144 højre parentes trin svarende til 49 plus 576 trin svarende til 625 lige x med 1 abonnement lig med tæller minus 7 plus 25 over nævneren 2 slutning af brøk svarende til 18 over 2 lig med 9 lige x med 2 tegn svarende til tælleren minus 7 minus 25 over nævneren 2 slutningen af brøkdel er lig tælleren minus 32 over nævneren 2 slutningen af brøkdelen er lig med minus 16 til rumets magt i tomt

Da et mål ikke kan være negativt, lad os bare overveje værdien lig med 9. Derfor vil bredden af jorden i figur A være lig med 9 m og længden være lig med 16 m (9 + 7).

Derfor skal længde- og breddemålingerne være lig med henholdsvis 9,0 og 16,0.

spørgsmål 7

(Enem - 2015) Et mobiltelefonfirma har to antenner, der vil blive erstattet af en ny, mere kraftfuld. Dækningsområderne for antennerne, der skal udskiftes, er cirkler med en radius på 2 km, hvis omkredse er tangent til punkt O, som vist i figuren.

Punkt O angiver placeringen af den nye antenne, og dens dækningsområde vil være en cirkel, hvis omkreds eksternt vil tangere omkredsen af de mindre dækningsområder. Med installationen af den nye antenne blev målingen af dækningsområdet i kvadratkilometer udvidet med

a) 8 π
b) 12 π
c) 16 π
d) 32 π
e) 64 π

Se svar

Korrekt alternativ: a) 8 π.

Forstørrelsen af måling af dækningsarealet findes ved at formindske arealerne for de mindre cirkler i den større cirkel (henvises til den nye antenne).

Da omkredsen af det nye dækningsområde eksternt berører de mindre omkredse, vil dens radius være lig med 4 km, som angivet i nedenstående figur:

Lad os beregne områderne A₁ og₂af de mindre cirkler og område A₃ fra den større cirkel:

DET₁= A₂ = 2². π = 4 π
DET₃ = 4².π = 16 π

Målingen af det forstørrede område findes ved at gøre:

A = 16 π - 4 π - 4 π = 8 π

Derfor blev installationen af den nye antenne øget dækningsarealet i kvadratkilometer med 8 π.

spørgsmål 8

(Enem - 2015) Diagram I viser konfigurationen af en basketballbane. De grå trapezoider, kaldet carboys, svarer til begrænsede områder.

Formålet er at overholde retningslinjerne fra Central Committee of the International Basketball Federation (Fiba) i 2010, som forenede markeringerne af de forskellige legeringer var der planlagt en ændring i domstolene, som ville blive rektangler, som vist i ordningen II.

Efter at have gennemført de planlagte ændringer var der en ændring i det område, der blev besat af hver carboy, hvilket svarer til en (a)

a) stigning på 5800 cm².
b) 75 400 cm stigning².
c) stigning på 214600 cm².
d) fald på 63 800 cm².
e) fald på 272600 cm².

Se svar

Korrekt alternativ: a) stigning på 5800 cm².

For at finde ud af, hvad ændringen i det besatte område var, lad os beregne området før og efter ændringen.

I beregningen af skema I vil vi bruge formlen til trapezområdet. I diagram II bruger vi formlen til arealet af rektanglet.

lige A med lige I-tegning svarende til tæller venstre parentes lige B plus lige b højre parentes. lige h over nævneren 2 slutning af fraktion lige A med lige I-tegning lig med tæller venstre parentes 600 plus 360 parentes højre. 580 over nævneren 2 slutning af brøk svarende til 278 mellemrum 400 mellemrum cm kvadrateret lige A med II-underskrift lig med lige B. lige h lige A med II-abonnement svarende til 580.490 svarende til 284 mellemrum 200 plads cm i kvadrat

Områdeskiftet bliver derefter:

A = A_II- A_jeg
A = 284 200 - 278400 = 5800 cm²

Efter udførelsen af de planlagte ændringer var der derfor en ændring i det område, der blev besat af hver dreng, hvilket svarer til en stigning på 5800 cm².

Foreslåede øvelser (med beslutning)

spørgsmål 9

Ana besluttede at bygge en rektangulær pool i sit hus, der måler 8 m base og 5 m højt. Rundt det, formet som en trapeze, var det fyldt med græs.

At vide, at trapezens højde er 11 m og dens bund er 20 m og 14 m, hvad er arealet af den del, der var fyldt med græs?

a) 294 m²
b) 153 m²
c) 147 m²
d) 216 m²

Se svar

Korrekt alternativ: c) 147 m².

Når rektanglet, der repræsenterer puljen, indsættes i en større figur, trapesen, lad os starte med at beregne arealet af den eksterne figur.

Trapesområdet beregnes ved hjælp af formlen:

lige A mellemrum er lig med tæller mellemrum venstre parentes lige B mellemrum plus lige mellemrum b højre parentes plads. lige mellemrum h over nævneren 2 slutning af brøkdel

Hvor,

B er målestokken for den største base;
b er målestokken for den mindste base;
h er højden.

Ved at erstatte sætningsdataene i formlen har vi:

Lad os nu beregne rektanglets areal. Til det er vi bare nødt til at multiplicere basen med højden.

lige A mellemrum er lig med lige mellemrum b mellemrum. lige mellemrum h plads er lig med plads 8 lige mellemrum m rum. mellemrum 5 lige mellemrum m plads svarende til plads 40 lige mellemrum m i firkant

For at finde det område, der er dækket af græs, skal vi trække den plads, der er optaget af poolen, fra trapezområdet.

187 lige mellemrum m kvadrat plads minus mellemrum 40 lige mellemrum m til kraften af 2 mellemrum af eksponentiel lig med plads 147 lige mellemrum m kvadrat

Derfor var arealet fyldt med græs 147 m².

Se også: Trapesområde

spørgsmål 10

For at renovere taget af hans lager besluttede Carlos at købe koloniale fliser. Ved hjælp af denne type tag er der brug for 20 stykker til hver kvadratmeter tag.

Hvis stedets tag er dannet af to rektangulære plader, som i figuren ovenfor, hvor mange fliser skal Carlos så købe?

a) 12000 fliser
b) 16000 fliser
c) 18000 fliser
d) 9600 fliser

Se svar

Korrekt alternativ: b) 16000 fliser.

Lagertaget er lavet af to rektangulære plader. Derfor skal vi beregne arealet af et rektangel og gange med 2.

lige A mellemrum svarer til lige mellemrum B mellemrum. lige mellemrum h mellemrum er lig med plads 40 lige mellemrum m rum. mellemrum 10 lige mellemrum m plads svarende til plads 400 lige mellemrum m kvadrat plads plads 2 lige mellemrum x mellemrum 400 lige mellemrum m til kraften af 2 mellemrum af eksponentiel lig med mellemrum 800 lige mellemrum m til firkant

Derfor er det samlede tagareal 800 m.². Hvis hver kvadratmeter har brug for 20 fliser, beregner vi ved hjælp af en simpel regel på tre, hvor mange fliser der fylder taget på hvert lager.

tabel række med celle med 1 mellemrum lige m kvadrat ende af celle minus celle med 20 mellemrum fliser ende af celle række med celle med 800 mellemrum lige m kvadrat ende af celle minus lige x række med blankt tomt blankt række med lige x lig med celle med tæller 20 mellemrum fliser plads lige x mellemrum 800 mellemrum diagonalt krydset over lige m kvadratisk ende af strejke over nævner 1 mellemrum krydset diagonalt op over lige m kvadrat ende af krydset ende af brøkdel ende af cellelinje med lige x er lig med celle med 16000 mellemrum fliser slutningen af celleenden bord

Derfor vil det være nødvendigt at købe 16 tusind fliser.

Se også: Rektangelområde

spørgsmål 11

Marcia vil gerne have to identiske trævaser til at dekorere indgangen til hendes hus. Da hun kun kunne købe en af sine favoritter, besluttede hun at ansætte en møbelsnedker til at bygge en anden vase med de samme dimensioner. Vasen skal have fire sider i ligebenet trapezform og bunden er firkantet.

Uden at tage højde for træets tykkelse, hvor mange kvadratmeter træ skal der bruges til at gengive stykket?

a) 0,2131 m²
b) 0,1311 m²
c) 0,2113 m²
d) 0,3121 m²

Se svar

Korrekt alternativ: d) 0,3121 m².

En ligebenet trapeze er den type, der har lige sider og forskellige baser. Fra billedet har vi følgende målinger af trapezius på hver side af fartøjet:

Mindre fod (b): 19 cm;
Større bund (B): 27 cm;
Højde (h): 30 cm.

Med værdierne i hånden beregner vi trapezarealet:

Da fartøjet er dannet af fire trapezoider, er vi nødt til at multiplicere det område, der findes med fire.

4 lige mellemrum x mellemrum 690 mellemrum cm kvadratisk plads svarende til plads 2760 mellemrum cm i kvadrat

Nu skal vi beregne bunden af vasen, som er dannet af en 19 cm firkant.

lige Et mellemrum svarer til lige mellemrum L rum. lige mellemrum L mellemrum svarende til rum 19 rum cm lige rum x mellemrum 19 rum cm rum svarende til rum 361 rum cm i kvadrat

Når vi tilføjer de beregnede arealer, når vi det samlede træareal, der skal bruges til at bygge.

lige A med lige t tegning plads svarende til plads 2760 plads cm kvadrat plads plus plads 361 plads cm kvadrat plads lig med plads 3121 plads cm kvadrat

Området skal dog præsenteres i kvadratmeter.

3121 mellemrum cm kvadrat plads kolon plads 10000 plads svarende til plads 0 komma 3121 lige mellemrum m kvadrat

Derfor var der behov for 0,3121 m uden at tage højde for træets tykkelse² af materiale til fremstilling af vasen.

Se også: Firkantet område

spørgsmål 12

For at lette beregningen af, hvor mange mennesker der deltager i offentlige arrangementer, anses det generelt for, at en kvadratmeter er optaget af fire personer.

For at fejre jubilæet for en by hyrede bystyret et band til at spille på pladsen i centrum, som har et areal på 4000 m². Ved at vide, at pladsen var fyldt, omtrent hvor mange mennesker deltog i arrangementet?

a) 16 tusind mennesker.
b) 32 tusind mennesker.
c) 12 tusind mennesker.
d) 40 tusind mennesker.

Se svar

Korrekt alternativ: a) 16 tusind mennesker.

En firkant har fire lige store sider og har sit areal beregnet efter formlen: A = L x L.

hvis i 1 m² det er besat af fire personer, så 4 gange pladsens samlede areal giver os et skøn over de mennesker, der deltog i arrangementet.