An polynomial ligning er kendetegnet ved at have en polynomium lig med nul. Det kan karakteriseres ved graden af polynomiet, og jo større denne grad er, jo større er sværhedsgraden ved at finde dens løsning eller rod.
Det er også vigtigt i denne sammenhæng at forstå, hvad algebras grundlæggende sætning er, som siger det hver polynomieligning har mindst én kompleks løsning, med andre ord: en ligning af grad et vil have mindst én løsning, en ligning af grad to vil have mindst to løsninger, og så videre.
Læs også: Hvad er klasserne af polynomier?
Hvad er en polynomisk ligning
En polynomielligning er karakteriseret ved at have et polynomium lig med nul, således hvert udtryk af typen P(x) = 0 er en polynomialligning, hvor P(x) er et polynomium. Nedenfor er det generelle tilfælde af en polynomialligning og nogle eksempler.
Overvejingen, an -1, a n -2, …, Det1, a0 og x reelle tal, og n er et positivt heltal, er det følgende udtryk en polynomialligning af grad n.
- Eksempel
Følgende ligninger er polynomier.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x – 1 = 0
d) 7x3 - x2 + 4x + 3 = 0
Ligesom polynomier har polynomialligninger deres grad. For at bestemme graden af en polynomialligning skal du blot finde den højeste potens, hvis koefficient er forskellig fra nul. Derfor er ligningerne for de foregående elementer henholdsvis:
a) Ligningen er fra fjerde grad:3x4+ 4x2 – 1 = 0.
b) Ligningen er fra Gymnasium:5x2 – 3 = 0.
c) Ligningen er fra første grad:6x – 1 = 0.
d) Ligningen er af tredje grad: 7x3- x2 + 4x + 3 = 0.
Hvordan løser man en polynomialligning?
Metoden til at løse en polynomialligning afhænger af dens grad. Jo større grad af en ligning er, jo sværere er det at løse den. I denne artikel vil vi vise løsningsmetoden for polynomialligninger af første grad, anden grad og bisquare.
Polynomisk ligning af første grad
En polynomielligning af første grad er beskrevet af a grad 1 polynomium. Så vi kan skrive en ligning af første grad generelt som følger.
Overvej to reelle tal Det og B med a ≠ 0 er følgende udtryk en polynomialligning af første grad:
ax + b = 0
For at løse denne ligning skal vi bruge ækvivalensprincippet, altså alt, der drives på den ene side af ligestillingen, skal også drives på den anden side. For at bestemme løsningen af en ligning af første grad, skal vi isolere det ukendte. Til dette er det første skridt at eliminere B på venstre side af ligestillingen, og så trække fraårer b på begge sider af ligestillingen.
økse + b - B = 0 - B
økse = - b
Bemærk, at værdien af det ukendte x ikke er isoleret, koefficienten a skal elimineres fra venstre side af ligheden, og for det, lad os dividere begge sider med Det.
- Eksempel
Løs ligningen 5x + 25 = 0.
For at løse problemet skal vi bruge ækvivalensprincippet. For at lette processen vil vi undlade at skrive operationen på venstre side af ligestillingen, idet svarer til at sige, at vi vil "passere" tallet til den anden side og ændre tegnet (omvendt operation).
Lær mere om løsning af denne form for ligning ved at få adgang til vores tekst: Førstegradsligning med en ukendt.
Polynomligning af anden grad
En polynomielligning af anden grad har karakteristikken for a grad to polynomium. Så overvej a, b og c reelle tal med a ≠ 0. En andengradsligning er givet ved:
økse2 + bx + c = 0
Din løsning kan bestemmes ved hjælp af metoden bhaskara eller ved factoring. Hvis du vil vide mere om ligninger af denne type, så læs: lignhandling af ssekund grau.
→ Bhaskara metode
Ved at bruge Bhaskaras metode er dens rødder givet af følgende formel:
- Eksempel
Find løsningen af ligningen x2 – 3x + 2 = 0.
Bemærk, at koefficienterne for ligningen er henholdsvis a = 1, b = – 3 og c = 2. Ved at erstatte disse værdier i formlen skal vi:
→ Faktorisering
Se, at det er muligt at faktorisere udtrykket x2 – 3x + 2 = 0 ved at bruge ideen om polynomiel faktorisering.
x2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) · (x – 1) = 0
Bemærk nu, at vi har et produkt lig med nul, og et produkt er kun lig med nul, hvis en af faktorerne er lig med nul, så vi skal:
x – 2 = 0
x = 2
eller
x - 1 = 0
x = 1
Se, at vi fandt løsningen på ligningen ved hjælp af to forskellige metoder.
bi-kvadrat ligning
DET bisquare ligning det er en særligt tilfælde af en polynomialligning af fjerde grad, normalt ville en fjerdegradsligning blive skrevet på formen:
økse4 + bx3 + kasse2 + dx + e = 0
hvor tallene a B C D og og er reelle med en ≠ 0. En fjerdegradsligning betragtes som bisquare, når koefficienterne b = d = 0, dvs. ligningen har formen:
økse4 + kasse2 + og = 0
Se i eksemplet nedenfor, hvordan du løser denne ligning.
- Eksempel
Løs x-ligningen4 – 10x2 + 9 = 0.
For at løse ligningen skal vi bruge følgende ukendte ændring, og når ligningen er bisquare, vil vi lave den ændring.
x2 =p
Ud fra bi-kvadrat-ligningen skal du bemærke, at x4 = (x2)2 og derfor skal vi:
x4 – 10x2 + 9 = 0
(x2)2 – 10x2 + 9 = 0
til2 – 10p + 9 = 0
Se, at vi nu har en polynomialligning af anden grad, og vi kan bruge Bhaskaras metode, som denne:
Vi skal dog huske, at der i begyndelsen af øvelsen blev foretaget en ukendt ændring, så vi skal anvende den værdi, der findes i substitutionen.
x2 =p
For p = 9 har vi det:
x2 = 9
x' = 3
eller
x'' = – 3
For p = 1
x2 = 1
x' = 1
eller
x'' = – 1
Derfor er løsningssættet af biskvadratligningen:
S = {3, –3, 1, –1}
Læs også: Briot-Ruffinis praktiske anordning – opdeling af polynomier
Algebras grundlæggende sætning (TFA)
Grundsætningen for algebra (TFA), bevist af Gauss i 1799, siger, at hver polynomieligning som følger har mindst én kompleks rod.
Roden til en polynomielligning er dens løsning, det vil sige, at den ukendte værdi er det, der gør ligheden sand. For eksempel har en førstegradsligning en allerede bestemt rod, ligesom en andengradsligning, som har mindst to rødder, og en bisquare, som har mindst fire rødder.
løste øvelser
Spørgsmål 1 – Bestem værdien af x, der gør ligheden sand.
2x – 8 = 3x + 7
Løsning
Bemærk, at for at løse ligningen er det nødvendigt at organisere den, det vil sige at lade alle de ukendte være på venstre side af ligheden.
2x – 8 = 3x + 7
2x – 3x = 7 + 8
– x = 15
Ved ækvivalensprincippet kan vi gange begge sider af ligheden med det samme tal, og da vi vil finde værdien af x, vil vi gange begge sider med –1.
(–1)– x = 15(–1)
x = – 15
spørgsmål 2 – Marcos har 20 R$ mere end João. Sammen lykkes det dem at købe to par sneakers, der koster R$80 hvert par og uden penge tilbage. Hvor mange reais har John?
Løsning
Antag, at Markus har x reais, da John har 20 reais mere, så han har x + 20.
Karakterer → x reelle
João → (x + 20) reais
hvordan købte de to par sneakers som koster 80 reais hver, så hvis vi sætter delene af hver enkelt sammen, bliver vi nødt til:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 – 20
2x = 140
Derfor havde Mark 70 reais, og João, 90 reais.
af Robson Luiz
Matematiklærer
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm
