Forestil dig at lege med kugler for at danne trekanter. Du kan først overveje, at en kugle er som en lille trekant:
•
Derefter placerer du to kugler under dem og danner de tre spidser af en trekant:
•
• •
Hvis du placerer yderligere tre kugler under disse, danner det endnu en trekant:
•
• •
• • •
Ved hvert trin med at tilføje bolde i forhold til den tidligere anbragte mængde, vil der altid være dannelse af trekanter. Se trekanten dannet ved at tilføje yderligere fire kugler:
•
• •
• • •
• • • •
Det samlede antal bolde i hvert trin kendetegner en klasse af tal kaldet trekantede tal. Matematikeren Karl Friedrich Gauss opdagede en formel til at angive den samlede mængde i hver trekant, hvor s1svarede til den første trekant, s2, til den anden trekant og så videre. Beløbene beskrevet af Gauss startede med -en og, på hvert trin blev der tilføjet et tal, der svarede til en enhed over det sidst tilføjede tal:
s1 = 1
s2= 1 + 2 = 3
s3 = 1 + 2 + 3 = 6
s4= 1 + 2 + 3 + 4 = 10
s5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Resultaterne af disse summer var de trekantede tal: 1, 3, 6, 10, 15... Bemærk, at der er et mønster etableret i hver af disse summer. Ser vi grundigt efter, kan vi se, at hver enkelt af dem er en
aritmetisk progression af årsag 1. Så her er gauss sum, som fastslår, at i en konstant forholdssum, hvis vi lægger det første element til det sidste, vil vi opnå det samme resultat som at lægge det andet element til det næstsidste. Lad os se, hvordan Gauss sum-processen for summer opstår. s6 og s7:
Gauss sum proces anvendt på summen af trekantede tal
hvis stop s6 og s7 vi har summen fra billedet ovenfor, lad os gengive denne sum for s8, S9, S10 og s11:
s8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4.9 = 36
s9= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4.10 + 5 = 45
s10= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.11 = 55
s11= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11= 5.12 + 6 = 66
Vi kan generalisere for at få en sum for singen:
singen = n. (n+1), hvis n er lige
2
singen = (n - 1).(n+1)+ (n - 1) + 1, hvis n er ulige
2 2
ligesom i talmagi, kan vi vise et andet interessant faktum om trekanttal: summen af efterfølgende trekanttal resulterer altid i tal, der kan klassificeres som perfekte kvadrater, det vil sige tal, der har rod firkant. Lad os se:
s1 + S2 = 1 + 3 = 4
s2 + S3 = 3 + 6 = 9
s3 + S4 = 6 + 10 = 16
s4 + S5 = 10 + 15 = 25
s5 + S6 = 15 + 21 = 36
s6 + S7 = 21 + 28 = 49
s7 + S8 = 28 + 36 = 64
s8 + S9 = 36 + 45 = 81
s9 + S10 = 45 + 55 = 100
s10 + S11 = 55 + 66 = 121
De opnåede resultater, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 og 121, er alle perfekte firkanter.
Af Amanda Gonçalves
Uddannet i matematik
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-triangulares.htm
