Eksponentiel funktion: 5 kommenterede øvelser

DET eksponentiel funktion er hver funktion af ℝ i ℝ^*_+, defineret af f (x) = a^x, hvor a er et reelt tal, større end nul og ikke lig med 1.

Udnyt de kommenterede øvelser for at fjerne al din tvivl om dette indhold og sørg for at kontrollere din viden i de løste spørgsmål om konkurrencer.

Kommenterede øvelser

Øvelse 1

En gruppe biologer studerer udviklingen af ​​en bestemt koloni af bakterier og fundet, at under ideelle forhold kan antallet af bakterier findes gennem udtrykket N (t) = 2000. 2^0,5tat være t om timer.

I betragtning af disse forhold, hvor længe efter observationens start vil antallet af bakterier være lig med 8192000?

Opløsning

I den foreslåede situation kender vi antallet af bakterier, dvs. vi ved, at N (t) = 8192000, og vi vil finde værdien af ​​t. Så erstat bare denne værdi i det givne udtryk:

For at løse denne ligning, lad os skrive tallet 4096 i primfaktorer, for hvis vi har den samme base, kan vi svare til eksponenterne. Derfor har vi:

Således vil kulturen have 8 192 000 bakterier efter 1 dag (24 timer) fra observationens start.

Øvelse 2

Radioaktive materialer har over tid en naturlig tendens til at nedbryde deres radioaktive masse. Den tid, det tager for halvdelen af ​​sin radioaktive masse at gå i opløsning, kaldes dens halveringstid.

Mængden af ​​radioaktivt materiale af et givet element er givet ved:

At være,

N (t): mængden af ​​radioaktivt materiale (i gram) på et givet tidspunkt.
N₀: den oprindelige mængde materiale (i gram)
T: halveringstid (i år)
t: tid (i år)

I betragtning af at halveringstiden for dette element er lig med 28 år, skal du bestemme den tid, det tager for det radioaktive materiale at reducere til 25% af dets oprindelige mængde.

Opløsning

For den foreslåede situation A (t) = 0,25 A.₀ = 1/4 A.₀, så vi kan skrive det givne udtryk og erstatte T med 28 år og derefter:

Derfor vil det tage 56 år for mængden af ​​radioaktivt materiale at blive reduceret med 25%.

Konkurrencespørgsmål

1) Unesp - 2018

Ibuprofen er en ordineret medicin til smerte og feber med en halveringstid på ca. 2 timer. Dette betyder, at for eksempel efter 2 timers indtagelse af 200 mg ibuprofen kun er 100 mg af medicinen tilbage i patientens blodbane. Efter yderligere 2 timer (i alt 4 timer) forbliver kun 50 mg i blodbanen og så videre. Hvis en patient modtager 800 mg ibuprofen hver 6. time, vil mængden af ​​denne medicin, der forbliver i blodbanen i den 14. time efter at have taget den første dosis, være

a) 12,50 mg
b) 456,25 mg
c) 114,28 mg
d) 6,25 mg
e) 537,50 mg

Se svar

Da den oprindelige mængde medicin i blodbanen hver anden time er delt i halvdelen, kan vi repræsentere denne situation ved hjælp af følgende skema:

Bemærk, at eksponenten i hver situation er lig med tiden divideret med 2. Således kan vi definere mængden af ​​medicin i blodbanen som en funktion af tiden ved hjælp af følgende udtryk:

At være

Q (t): mængden i en given time
Q₀: det indtagne oprindelige beløb
t: tid i timer

I betragtning af at der blev taget 800 mg ibuprofen hver 6. time, har vi:

For at finde mængden af ​​medicin i blodbanen 14 timer efter indtagelse af 1. dosis, skal vi tilføje de mængder, der henviser til 1., 2. og 3. dosis. Vi beregner disse mængder:

Mængden af ​​den første dosis vil blive fundet i betragtning af tiden svarende til 14 timer, så vi har:

For den anden dosis, som vist i diagrammet ovenfor, var tiden 8 timer. Ved at erstatte denne værdi har vi:

Tiden til 3. dosis er kun 2 timer. Mængden relateret til 3. dosis vil derefter være:

Nu hvor vi kender mængderne for hver dosis, der indtages, kan vi finde den samlede mængde ved at tilføje hver af de fundne mængder:

Q_Total= 6,25 + 50 + 400 = 456,25 mg

Alternativ b) 456,25 mg

2) UERJ - 2013

En sø, der bruges til at levere en by, blev forurenet efter en industriulykke og nåede niveauet for toksicitet T₀svarende til ti gange det oprindelige niveau.
Læs oplysningerne nedenfor.

• Søens naturlige strøm muliggør fornyelse af 50% af dens volumen hver tiende dag.
• Toksicitetsniveauet T (x) efter x dage efter ulykken kan beregnes ved hjælp af følgende ligning:

Overvej D det mindste antal dage med suspension af vandforsyningen, der er nødvendig for at toksiciteten kan vende tilbage til det oprindelige niveau.
Hvis log 2 = 0,3, er værdien af ​​D lig med:

a) 30
b) 32
c) 34
d) 36

Se svar

For at vende tilbage til det oprindelige toksicitetsniveau er det nødvendigt, at:

Ved at erstatte denne værdi i den givne funktion har vi:

Multiplikation i "kryds" bliver ligningen:

2 ^0,1x= 10

Lad os anvende base 10-logaritmen på begge sider for at gøre den til en 1. grads ligning:

log (2^0,1x) = log 10

Husk at loggen på 10 i base 10 er lig med 1, vores ligning vil se ud:

0,1x log 2 = 1

I betragtning af at log 2 = 0,3 og erstatter denne værdi i ligningen:

Således er det mindste antal dage, cirka, at levering skal suspenderes 34 dage.

Alternativ c) 34

3) Fuvesp - 2018

Lad f: ℝ → ℝ og g: ℝ₊ → ℝ defineret af

henholdsvis.

Grafen for den sammensatte funktion g_ºtro:

Se svar

Grafen du leder efter er den sammensatte funktion g_ºf, derfor er det første trin at bestemme denne funktion. Til dette skal vi erstatte funktionen f (x) i x af funktionen g (x). Ved at foretage denne udskiftning finder vi:

Ved hjælp af logaritmeegenskaben for kvotienten og en styrke har vi:

Bemærk, at funktionen fundet ovenfor er af typen ax + b, som er en affin funktion. Så din graf vil være en lige linje.

Hældningen a er lig med log₁₀ 5, hvilket er et positivt tal, så grafen stiger. På denne måde kan vi fjerne mulighederne b, c og e.

Vi har valgmulighederne a og d, men når x = 0 har vi gof = - log₁₀ 2, som er en negativ værdi som repræsenteret i graf a.

Alternativ a)

4) Unicamp - 2014

Grafen nedenfor viser den biotiske potentialekurve q (t) for en population af mikroorganismer over tid t.

Da a og b er reelle konstanter, er den funktion, der kan repræsentere dette potentiale

a) q (t) = ved + b
b) q (t) = ab^t
c) q (t) = ved² + bt
d) q (t) = a + log _B t

Se svar

Fra den viste graf kan vi identificere, at når t = 0, er funktionen lig med 1000. Desuden er det også muligt at observere, at funktionen ikke er affin, da grafen ikke er en lige linje.

Hvis funktionen var af typen q (t) = kl²+ bt, når t = 0, ville resultatet være lig med nul og ikke 1000. Så det er heller ikke en kvadratisk funktion.

Sådan logges_B0 er ikke defineret, og det kunne heller ikke have funktionen q (t) = a + log_Bt.

Således ville den eneste mulighed være funktionen q (t) = ab^t. I betragtning af t = 0 vil funktionen være q (t) = a, da a er en konstant værdi, er det nok, at det er lig med 1000 for at funktionen passer til den givne graf.

Alternativ b) q (t) = ab^t

5) Enem (PPL) - 2015

Arbejdstagerforeningen i et firma foreslår, at lønningsgulvet i klassen er R $ 1.800,00, og foreslår en fast procentsats for hvert år dedikeret til arbejde. Det udtryk, der svarer til lønnen (e), som funktion af tjenestens længde (t), i år, er s (t) = 1800. (1,03)^t .

I henhold til fagforeningens forslag vil lønnen til en professionel fra dette firma med 2 års tjeneste i reais være

a) 7 416,00
b) 3.819,24
c) 3.709,62
d) 3.708,00
e) 1.909,62.

Se svar

Udtrykket for beregning af lønnen som en funktion af fagforeningen foreslår svarer til en eksponentiel funktion.

For at finde lønværdien i den angivne situation, lad os beregne værdien af ​​s, når t = 2, som angivet nedenfor:

s (2) = 1800. (1,03)² = 1800. 1,0609 = 1 909,62

Alternativ e) 1 909,62

Læs også:

• Eksponentiel funktion
• Logaritme
• Logaritme - Øvelser
• Logaritmeegenskaber
• Potentiering
• potentieringsøvelser
• Affine-funktion
• Lineær funktion
• Relaterede funktionsøvelser
• Kvadratisk funktion
• Kvadratisk funktion - Øvelser
• Matematikformler