Pythagoras sætning: formel og øvelser

O Pythagoras sætning viser længden på siderne af den højre trekant. Denne geometriske figur er dannet af en indre vinkel på 90 °, kaldet en ret vinkel.

Påstanden om denne sætning er:

"Summen af firkanterne på dine ben svarer til firkanten af din hypotenus."

Pythagoras sætning formel

Ifølge erklæringen fra Pythagoras sætning er formlen repræsenteret som følger:

Det² = b² + c²

At være,

Det: hypotenuse
B: cateto
ç: cateto

DET hypotenus er den længste side af en ret trekant og siden modsat den rigtige vinkel. De to andre sider er benene. Vinklen dannet af disse to sider har et mål lig med 90º (ret vinkel).

Vi identificerede også benene efter en referencevinkel. Det vil sige, at siden kan kaldes tilstødende side eller modsat side.

Når benet er tæt på referencevinklen, kaldes det a tilstødendepå den anden side, hvis det er imod denne vinkel, kaldes det modsat.

Nedenfor er tre eksempler på anvendelser af Pythagoras sætning til de metriske forhold i en ret trekant.

Eksempel 1: beregne mål for hypotenusen

instagram story viewer

Hvis en højre trekant har 3 cm og 4 cm som mål på benene, hvad er hypotenusen i denne trekant?

lige et kvadratrum er lig plads lige b kvadrat plads plus lige c kvadrat lige et kvadrat rum er lig plads 4 kvadrat plads plus plads 3 à kvadrat lige et kvadratisk rum svarende til 16 mellemrum plus mellemrum 9 lige et kvadratisk rum lig med 25 lige til plads lig med plads kvadratroden på 25 lige til plads lig med plads 5

Derfor er siderne af den højre trekant 3 cm, 4 cm og 5 cm.

Eksempel 2: beregne mål for et af benene

Bestem målene for et ben, der er en del af en højre trekant, hvis hypotenus er 20 cm og det andet ben måler 16 cm.

lige en firkantet plads lig med plads lige b kvadrat mere lige plads c kvadrat plads dobbelt højre pil lige b kvadrat plads lig med plads lige et kvadratrum minus plads lige c kvadrat lige b kvadrat plads er lig med plads 20 kvadrat plads minus plads 16 kvadrat lige b kvadrat plads svarende til plads 400 plads minus plads 256 lige b kvadrat plads svarende til 144 lige b plads lig med plads kvadratrod af 144 lige b plads lig med plads 12

Derfor er målene på siderne af den højre trekant 12 cm, 16 cm og 20 cm.

Eksempel 3: Kontroller, om en trekant er et rektangel

En trekant har sider, der måler 5 cm, 12 cm og 13 cm. Hvordan ved du, om det er en rigtig trekant?

For at bevise, at en ret trekant er sand, skal målingerne af dens sider overholde Pythagoras sætning.

lige et kvadratrum er lig med lige mellemrum b kvadrat plads plus lige mellemrum c kvadrat 13 kvadrat plads er lig plads 12 kvadrat plads plus plads 5 kvadrat 169 plads svarer plads 144 plads plus plads 25 169 plads lig 169

Da de givne mål tilfredsstiller Pythagoras 'sætning, dvs. at hypotenusens firkant er lig med summen af benets firkant, så kan vi sige, at trekanten er et rektangel.

Læs også: Metriske forhold i rektangel-trekanten

Pythagoras trekant

Når måler siderne af en højre trekant er positive heltal, trekanten kaldes en Pythagoras trekant.

I dette tilfælde kaldes benene og hypotenusen ”Pythagorean suit” eller “Pythagorean trio”. For at kontrollere, om tre tal danner en Pythagoras-trio, bruger vi forholdet til²= b² + c².

Den mest kendte Pythagoras-trio er repræsenteret af tallene: 3, 4, 5. Hypotenusen er lig med 5, det større ben er lig med 4 og det mindre ben er lig med 3.

Bemærk, at arealet af firkanterne tegnet på hver side af trekanten er relateret ligesom Pythagoras 'sætning: kvadratets areal på den lange side svarer til summen af arealerne til de to andre firkant.

Interessant nok danner multiplerne af disse tal også en pythagoreisk dragt. For eksempel, hvis vi multiplicerer trioen 3, 4 og 5 med 3, får vi tallene 9, 12 og 15, som også danner en Pythagoras-dragt.

Ud over kulør 3, 4 og 5 er der en lang række andre dragter. Som et eksempel kan vi nævne:

5, 12 og 13
7, 24, 25
20, 21 og 29
12, 35 og 37

Læs også: Trigonometri i rektangel-trekanten

Hvem var Pythagoras?

ifølge historien Pythagoras af Samos (570 a. Ç. - 495 a. C.) var en græsk filosof og matematiker, der grundlagde Pythagorean School, der ligger i det sydlige Italien. Også kaldet Pythagorean Society, det omfattede studier i matematik, astronomi og musik.

Skønt de metriske forhold i den rigtige trekant allerede var kendt af babylonierne, der levede længe før Pythagoras, det første bevis for, at denne sætning anvendt på enhver ret trekant menes at være lavet af Pythagoras.

Pythagoras sætning er en af de mest kendte, vigtigste og brugte sætninger i matematik. Det er vigtigt at løse problemer inden for analytisk geometri, plangeometri, rumlig geometri og trigonometri.

Ud over sætningen var andre vigtige bidrag fra Pythagorean Society for Mathematics:

Opdagelse af irrationelle tal;
Egenskaber for heltal;
MMC og MDC.

Læs også: Matematikformler

Beviser for Pythagoras sætning

Der er flere måder at bevise Pythagoras 'sætning på. For eksempel bogen Det pythagoreanske forslag, udgivet i 1927, præsenterede 230 måder at demonstrere det på, og en anden udgave, der blev udgivet i 1940, steg til 370 demonstrationer.

Se videoen nedenfor og tjek nogle demonstrationer af Pythagoras sætning.

Hvor mange måder er der for at bevise Pythagoras sætning? - Betty Fei

Kommenterede øvelser om Pythagoras sætning

Spørgsmål 1

(PUC) Summen af kvadraterne på de tre sider af en højre trekant er lig med 32. Hvor lang er hypotenusen i trekanten?

a) 3
b) 4
c) 5
d) 6

Se svar

Korrekt alternativ: b) 4.

Fra oplysningerne i erklæringen ved vi, at² + b² + c² = 32. På den anden side skal vi af Pythagoras sætning² = b² + c² .

Udskiftning af værdien af b²+ c²ved² i det første udtryk finder vi:

Det² + den² =32 ⇒ 2. Det² = 32 ⇒ til² = 32/2 ⇒ til² = 16 ⇒ a = √ 16
a = 4

For flere spørgsmål, se: Pythagoras sætning - Øvelser

spørgsmål 2

(Og enten)

I figuren ovenfor, som repræsenterer designet af en trappe med 5 trin i samme højde, er den samlede længde af gelændet lig med:

a) 1,9 m
b) 2,1 m
c) 2,0 m
d) 1,8 m
e) 2,2 m

Se svar

Korrekt alternativ: b) 2.1m.

Den samlede længde af gelænderen er lig med summen af de to længdesnit svarende til 30 cm med det afsnit, som vi ikke kender målene for.

Vi kan se på figuren, at det ukendte afsnit repræsenterer hypotenusen i en ret trekant, hvis mål for et af benene er lig med 90 cm.

For at finde mål for det andet ben skal vi tilføje længden på de 5 trin. Derfor har vi b = 5. 24 = 120 cm.

For at beregne hypotenusen, lad os anvende Pythagoras 'sætning på denne trekant.

Det² = 90² + 120² til² = 8100 + 14 400 ⇒ til² = 22 500 ⇒ a = √ 22 500 = 150 cm

Bemærk, at vi kunne have brugt ideen om Pythagoras dragter til at beregne hypotenusen, da benene (90 og 120) er multipla af 3, 4 og 5 kulør (gang alle termer med 30).

På denne måde vil gelænderets samlede mål være:

30 + 30 + 150 = 210 cm = 2,1 m

Test din viden med Trigonometri øvelser

spørgsmål 3

(UERJ) Millôr Fernandes skrev i en smuk hyldest til matematik et digt, hvorfra vi udtrækker fragmentet nedenfor:

Til så mange ark i en matematikbog,
en kvotient blev forelsket en dag vildt
af en ukendt.
Han så på hende med sit utallige blik
og han så hende fra top til base: en underlig figur;
romboide øjne, trapezformet mund,
rektangulær krop, sfæriske bryster.
Gjorde dit liv parallelt med hendes,
indtil de mødtes i Infinity.
"Hvem er du?" - spurgte han radikalt angst.
”Jeg er summen af firkanterne på benene.
Men du kan kalde mig hypotenuse.”

(Millôr Fernandes. Tredive år af mig selv.)

Incognita tog forkert at sige, hvem det var. For at opfylde Pythagoras sætning skal følgende gøres

a) “Jeg er kvadratet af summen af benene. Men kald mig hypotenusefeltet. ”
b) ”Jeg er summen af benene. Men du kan kalde mig hypotenuse. ”
c) ”Jeg er kvadratet af summen af benene. Men du kan kalde mig hypotenuse. ”
d) ”Jeg er summen af benene. Men kald mig hypotenusefeltet. ”

Se svar

Alternativ d) ”Jeg er summen af benene. Men kald mig hypotenusefeltet. ”

Lær mere om emnet: