Numeriske sæt øvelser

Du numeriske sæt inkluderer følgende sæt: Naturals (ℕ), Heltal (ℤ), Rationals (ℚ), Irrationals (I), Reals (ℝ) og Complexes (ℂ).

Udnyt de kommenterede øvelser for at bekræfte din viden om dette vigtige emne i matematik.

Spørgsmål 1

Hvilket forslag nedenfor er sandt?

a) Hvert heltal er rationelt, og hvert reelle tal er et heltal.
b) Skæringspunktet mellem sættet med rationelle tal og sættet med irrationelle tal har 1 element.
c) Nummeret 1.83333... er et rationelt tal.
d) Opdelingen af ​​to heltal er altid et heltal.

Se svar

Korrekt alternativ: c) Nummeret 1.83333... er et rationelt tal.

Lad os se på hvert af udsagnene:

a) Falsk. Faktisk er hvert heltal rationelt, da det kan skrives i form af en brøkdel. F.eks. Kan tallet -7, som er et heltal, skrives som en brøkdel som -7/1. Ikke alle reelle tal er dog et heltal, for eksempel er 1/2 ikke et heltal.

b) Falsk. Sættet med rationelle tal har intet nummer til fælles med de irrationelle, da et reelt tal enten er rationelt eller irrationelt. Derfor er krydset et tomt sæt.

c) Sandt. Nummeret 1.83333... det er en periodisk tiende, fordi ciffer 3 gentager sig uendeligt. Dette tal kan skrives som en brøkdel som 11/6, så det er et rationelt tal.

d) Falsk. For eksempel er 7 divideret med 3 lig med 2.33333..., hvilket er en periodisk decimal, så det er ikke et heltal.

spørgsmål 2

Værdien af ​​nedenstående udtryk, når a = 6 og b = 9, er:

a) et ulige naturligt tal
b) et tal, der hører til sættet med irrationelle tal
c) ikke er et reelt tal
d) et heltal, hvis modul er større end 2

Se svar

Korrekt alternativ: d) et heltal, hvis modul er større end 2.

Lad os først erstatte bogstaverne med de angivne værdier og løse udtrykket:

Bemærk, at (-6)² er forskellig fra - 6², kan den første operation udføres som: (-6)² = (- 6). (- 6) = 36. Uden parenteserne er kun 6 i firkant, dvs. - 6² = - (6.6) = -36.

Fortsættelse af opløsningen har vi:

Bemærk, at da indekset for roden er et ulige tal (kubisk rod), er der et negativt antal rod i sættet med reelle tal. Hvis rodindekset var et lige tal, ville resultatet være et komplekst tal.

Lad os nu analysere hver af de præsenterede muligheder:

Muligheden Det er forkert, fordi svaret er et negativt tal, der ikke er en del af sættet med naturlige tal.

Tallet - 3 er ikke en uendelig ikke-periodisk decimal, så det er ikke en irrationel, derfor bogstavet B det er heller ikke den rigtige løsning.

Brevet ç er også forkert, da tallet - 3 er et tal, der hører til sættet med reelle tal.

Den korrekte mulighed kan kun være bogstavet d og faktisk er resultatet af udtrykket et heltal, og modulo af -3 er 3, som er større end 2.

spørgsmål 3

Hvilket alternativ repræsenterer et inklusionsforhold i sæt (A og B) i nedenstående tabel?

Se svar

Korrekt alternativ: a)

Alternativ "a" er det eneste, hvor et sæt er inkluderet i et andet. Sæt A inkluderer sæt B eller sæt B er inkluderet i A.

Så hvilke udsagn er korrekte?

I - A C B
II - B C A
III - A B
IV - B Ɔ A

a) I og II.
b) I og III.
c) I og IV.
d) II og III.
e) II og IV

Se svar

Korrekt alternativ: d) II og III.

I - forkert - A er ikke indeholdt i B (A Ȼ B).
II - Korrekt - B er indeholdt i A (B C A).
III - Korrekt - A indeholder B (B Ɔ A).
IV - Forkert - B indeholder ikke A (B ⊅ A).

spørgsmål 4

Vi har sættet A = {1, 2, 4, 8 og 16} og sættet B = {2, 4, 6, 8 og 10}. Hvor er elementerne 2, 4 og 8 ifølge alternativerne placeret?

Se svar

Korrekt alternativ: c).

Elementerne 2, 4 og 8 er fælles for begge sæt. Derfor er de placeret i delsættet A ∩ B (et kryds med B).

spørgsmål 5

Givne sæt A, B og C, hvilket billede repræsenterer A U (B ∩ C)?

Se svar

Korrekt alternativ: d)

Det eneste alternativ, der opfylder den oprindelige betingelse for B ∩ C (på grund af parenteserne) og senere foreningen med A.

spørgsmål 6

Der blev gennemført en undersøgelse for at lære om forbrugernes købsvaner i forhold til tre produkter. Forskningen opnåede følgende resultater:

• 40% køb produkt A.
• 25% køb produkt B.
• 33% køb produkt C.
• 20% køber produkter A og B.
• 5% køber produkter B og C.
• 19% køber produkter A og C.
• 2% køber alle tre produkter.

Baseret på disse resultater, svar:

a) Hvor stor en procentdel af respondenterne køber ikke nogen af ​​disse produkter?
b) Hvor stor en procentdel af respondenterne køber produkt A og B og køber ikke produkt C?
c) Hvor stor en procentdel af respondenterne køber mindst et af produkterne?

Se svar

Svar:
a) 44% af respondenterne forbruger ikke nogen af ​​de tre produkter.
b) 18% af mennesker, der spiser begge produkter (A og B), forbruger ikke produkt C.
c) 56% af respondenterne bruger mindst et af produkterne.

For at løse dette problem, lad os lave et diagram for bedre at visualisere situationen.

Vi skal altid starte ved krydset mellem de tre sæt. Derefter inkluderer vi værdien af ​​skæringspunktet mellem to sæt og endelig procentdelen af ​​mennesker, der kun køber et enkelt produktmærke.

Det bemærkes, at procentdelen af ​​mennesker, der spiser to produkter, også inkluderer procentdelen af ​​mennesker, der spiser de tre produkter.

Derfor angiver vi i diagrammet procentdelen af ​​dem, der spiser kun to produkter. For at gøre dette skal vi trække procentdelen af ​​dem, der spiser de tre produkter, fra dem, der spiser to.

For eksempel er den angivne procentdel, der forbruger produkt A og produkt B, 20%, men denne værdi udgør de 2%, der er relateret til, hvem der forbruger de tre produkter.

Ved at trække disse værdier, dvs. 20% - 2% = 18%, finder vi procentdelen af ​​forbrugere, der kun køber produkter A og B.

I betragtning af disse beregninger vil diagrammet for den beskrevne situation være som vist i nedenstående figur:

Baseret på dette diagram kan vi nu fortsætte med at besvare de foreslåede spørgsmål.

Det) Procentdelen af ​​dem, der ikke køber noget produkt, er lig med helheden, det vil sige 100% bortset fra at de bruger noget produkt. Så vi skal gøre følgende beregning:

100 - (3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11) = 100 - 56 = 44%

Snart, 44% af respondenterne spiser ikke nogen af ​​de tre produkter.

B) Procentdelen af ​​forbrugere, der køber produkt A og B og ikke køber produkt C, findes ved at trække fra:

20 - 2 = 18%

Derfor, 18% af mennesker, der spiser begge produkter (A og B), spiser ikke produkt C.

ç) For at finde procentdelen af ​​mennesker, der forbruger mindst et af produkterne, skal du bare tilføje alle værdierne i diagrammet. Så vi har:

3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11 = 56%

Dermed, 56% af respondenterne bruger mindst et af produkterne.

spørgsmål 7

(Enem / 2004) En kosmetikproducent beslutter at producere tre forskellige kataloger over sine produkter, der er målrettet mod forskellige målgrupper. Da nogle produkter vil være til stede i mere end et katalog og optage en hel side, beslutter han at foretage en optælling for at reducere udgifterne med trykte originaler. Kataloger C1, C2 og C3 vil have henholdsvis 50, 45 og 40 sider. Sammenligner designene fra hvert katalog finder han, at C1 og C2 vil have 10 sider til fælles; C1 og C3 har 6 sider til fælles; C2 og C3 har 5 sider til fælles, hvoraf 4 også vil være på C1. Ved at udføre de tilsvarende beregninger konkluderede producenten, at den til samling af de tre kataloger har brug for i alt trykte originaler svarende til:

a) 135
b) 126
c) 118
d) 114
e) 110

Se svar

Korrekt alternativ: c) 118

Vi kan løse dette spørgsmål ved at konstruere et diagram. Lad os starte med de sider, der er fælles for de tre kataloger, dvs. 4 sider.

Derfra vil vi indikere værdierne, trække dem, der allerede er blevet redegjort for. Således vil diagrammet være som angivet nedenfor:

Værdierne blev fundet ved at foretage følgende beregninger:

• Kryds C1, C2 og C3: 4
• Skæringspunkt C2, C3: 5-4 = 1
• Kryds C1 og C3: 6-4 = 2
• Kryds C1 og C2: 10 - 4 = 6
• Kun C1: 50 - 12 = 38
• Kun C2: 45 - 11 = 34
• Kun C3: 40 - 7 = 33

For at finde antallet af sider skal du blot tilføje alle disse værdier, dvs.

4 + 1 + 2 + 6 + 38 +34 + 33 = 118

spørgsmål 8

(Enem / 2017) I denne termometermodel registrerer fileterne minimums- og maksimumtemperaturer den foregående dag og de grå fileter registrerer den aktuelle omgivelsestemperatur, det vil sige på tidspunktet for læsning af termometer.

Så det har to kolonner. Til venstre er tallene i stigende rækkefølge, fra top til bund, fra -30 ° C til 50 ° C. I kolonnen til højre ordnes tallene i stigende rækkefølge, fra bunden til toppen, fra -30 ° C til 50 ° C.

Læsning sker som følger:

• minimumstemperaturen er angivet med det sorte filets nedre niveau i venstre kolonne.
• den maksimale temperatur er angivet med det nederste niveau af den sorte tråd i højre kolonne.
• den aktuelle temperatur er angivet med det øverste niveau i de grå fileter i de to kolonner.

Hvad er den nærmeste maksimale temperatur registreret på dette termometer?

a) 5 ° C
b) 7 ° C
c) 13 ° C
d) 15 ° C
e) 19 ° C

Se svar

Korrekt alternativ: e) 19 ° C

For at løse problemet skal du bare læse skalaen i højre kolonne på den sorte filet, som repræsenterer den maksimale temperaturregistrering.

spørgsmål 9

(Enem / 2017) Resultatet af en valgundersøgelse om vælgernes præference i forhold til to kandidater blev repræsenteret ved hjælp af graf 1.

Da dette resultat blev offentliggjort i en avis, blev graf 1 skåret under layoutet, som vist i graf 2.

Selvom de viste værdier er korrekte, og bredden af ​​kolonnerne er den samme, er der mange læsere kritiserede formatet for graf 2 trykt i avisen og hævdede, at der var visuel skade på kandidaten B. Forskellen mellem højdeforholdene for kolonne B til kolonne A i graf 1 og 2 er:

a) 0
b) 1/2
c) 1/5
d) 2/15
e) 8/35

Se svar

Korrekt alternativ: e) 8/35

For at løse problemet skal vi først finde forholdet mellem højden af ​​kolonne B til kolonne A i de to grafer. Disse forhold findes ved at tælle, hvor mange divisioner der er i hver kolonne.

Bemærk, at i graf 1 er kolonne A opdelt i 7 lige "stykker", mens kolonne B er i 3. I graf 2 er kolonne A opdelt i 5 lige store "stykker" og kolonne B i kun 1.

Derfor kan de fraktioner, der repræsenterer forholdet mellem kolonne B til kolonne A, angives med

Løs nu bare subtraktionen mellem disse to fraktioner, så vi har:

spørgsmål 10

(Enem / 2018) For at oprette et logo ønsker en professionel inden for grafisk design at bygge det ved hjælp af sættet med plane punkter i form af en trekant nøjagtigt som vist på billedet.

For at oprette et sådant billede ved hjælp af et grafisk værktøj er det nødvendigt at algebraisk skrive det sæt, der repræsenterer punkterne i denne grafik.

Dette sæt er givet af de bestilte par (x; y) ℕ x ℕ, sådan at
a) 0 ≤. x ≤ y ≤ 10
b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
c) 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10
d) 0 ≤ x + y ≤ 10
e) 0 ≤ x + y ≤ 20

Se svar

Korrekt alternativ: b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10

Bemærk, at figuren udtrykt i spørgsmålet, både på y- og x-aksen, omfatter de naturlige tal (ℕ x ℕ) mellem 0 og 10. Vi skal: 0 ≤ y ≤ 10 og 0 ≤ x ≤ 10.

Således: y = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) og x = (0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10 ). Imidlertid er figuren afbildet en trekant. For at opfylde denne betingelse, i bestilte par y kan ikke være større end x.

Bemærk, at værdierne for y er begrænset af ligestilling med værdierne x og danner hypotenusen i denne højre trekant: (0,0), (1; 1), (2; 2), (3; 3 ), (4; 4), (5; 5)... (10; 10).

Således skal vi: y ≤ x.

Snart, 0 ≤ y ≤ x ≤ 10.

For at lære mere, læs også:

• Numeriske sæt
• reelle tal
• Heltal
• Rationelle tal
• irrationelle tal
• Naturlige tal
• Komplekse tal
• Øvelser på sæt
• Øvelser på komplekse tal