Trigonometriske funktioner i halvbuen


trigonometriske funktioner, sinus, cosinus og tangens, af buehalvdelen kan opnås fra de trigonometriske funktioner i dobbeltbuen.

En målebue \ dpi {120} \ alfa, den dobbelte bue er buen \ dpi {120} 2 \ alfa og halv bue er bue \ dpi {120} \ alpha / 2.

Ved to bue-additionsformler, vi har de trigonometriske funktioner i dobbeltbuen:

Sinus:

\ dpi {120} \ mathrm {sen (2 {\ alpha}) = sen ({\ alpha + \ alpha}) = sin \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} + sin \, {\ alfa} \ cdot cos \, {\ alpha}}
\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {sen (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = 2. (sen \, \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \, \ boldsymbol {\ alpha})}

cosinus:

\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ({\ alpha + \ alpha}) = cos \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} - sin \, {\ alfa} \ cdot sin \, {\ alpha}}
\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {cos (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = cos ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha} - sen ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha}}
Tangent:
\ dpi {120} \ mathrm {tan (2 {\ alpha}) = tan ({\ alpha + \ alpha}) = \ frac {tan \, {\ alpha} + tan \, {\ alpha}} {1 - tan \, {\ alpha} \ cdot tan \, {\ alpha}}}
\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {tan (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = \ frac {2 \ cdot tan \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 - tan ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha }}}

Fra disse formler viser vi formlerne for halvbue trigonometriske funktioner.

Trigonometriske funktioner i halvbuen

En af grundlæggende relationer mellem trigonometri er det:

\ dpi {120} \ mathbf {sen ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} + cos ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} = 1}

Hvor får vi:

\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}
\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}

udskiftning \ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha} i formlen for cosinus i dobbeltbuen skal vi:

\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = cos ^ 2 \, {\ alpha} - (1 - cos ^ 2 \, {\ alpha})}
Tjek nogle gratis kurser
  • Gratis online inkluderende uddannelseskursus
  • Gratis online legetøjsbibliotek og læringskursus
  • Gratis online førskole matematik spil kursus
  • Gratis online pædagogisk kulturel workshop kursus
\ dpi {120} \ mathrm {= 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}

Derfor:\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}

\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {cos ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1 + cos (2 \ alpha)} {2}}

udskiftning \ dpi {120} \ alfa om \ dpi {120} \ alpha / 2 i formlen ovenfor og udtrækning af kvadratroden på begge sider, har vi formlen for cosinus af buehalvdel:

\ dpi {120} \ mathbf {cos \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}

Bemærk: Tegn i formlen vil være positivt eller negativt i henhold til kvadranten på buen halvdel.

Udskifter nu \ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha} i formlen for cosinus i dobbeltbuen skal vi:

\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = (1 -sen ^ 2 \, {\ alpha}) - sen ^ 2 \, {\ alpha}}
\ dpi {120} \ mathrm {= 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}

Derfor:

\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}
\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {sen ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1-cos (2 \ alpha)} {2}}

udskiftning \ dpi {120} \ alfa om \ dpi {120} \ alpha / 2 i formlen ovenfor og udtrækning af kvadratroden på begge sider, har vi formlen for sinus af buehalvdel:

\ dpi {120} \ mathbf {sen \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1-cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}

Bemærk: Tegn i formlen vil være positivt eller negativt i henhold til kvadranten på buen halvdel.

Endelig kan vi få tangensbuen til buehalvdelen ved at dividere buehalvdelens sinus med lysbuenes cosinus:

\ dpi {120} \ mathrm {tan (\ alpha / 2) = \ frac {sen (\ alpha / 2)} {cos (\ alpha / 2)} = \ frac {\ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {2}}} {\ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ alpha} {2}}} = \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {1 + cos \, \ alpha}}}

Derfor er formlen for halv bue tangens é:

\ dpi {120} \ mathbf {tan (\ boldsymbol {\ alpha} / 2) = \ pm \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alfa}}}}

Bemærk: Tegn i formlen vil være positivt eller negativt i henhold til kvadranten på buen halvdel.

Du kan også være interesseret:

  • trigonometrisk cirkel
  • trigonometrisk tabel
  • Trigonometriske forhold
  • syndens lov
  • cosinus lov

Adgangskoden er sendt til din e-mail.

Rødskægslegende

DET legende om rødskæg stammer fra Nordøstlige region og fortæller historien om havfruens søn Iar...

read more

Hvad er infrarød? Historie, hjemmebrug og afsløring

Hvad er infrarød? DET infrarød stråling (IR) eller infrarødt lys, er en type strålende energi. De...

read more
River Plate Basin

River Plate Basin

Beliggende i den sydlige del af Amerika, Rio da Prata Hydrographic Basin (eller La Plata Basin an...

read more