Trigonometriske funktioner i halvbuen

På trigonometriske funktioner, sinus, cosinus og tangens, af buehalvdelen kan opnås fra de trigonometriske funktioner i dobbeltbuen.

En målebue $\ dpi {120} \ alfa$ , den dobbelte bue er buen $\ dpi {120} 2 \ alfa$ og halv bue er bue $\ dpi {120} \ alpha / 2$ .

Ved to bue-additionsformler, vi har de trigonometriske funktioner i dobbeltbuen:

Sinus:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen (2 {\ alpha}) = sen ({\ alpha + \ alpha}) = sin \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} + sin \, {\ alfa} \ cdot cos \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {sen (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = 2. (sen \, \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \, \ boldsymbol {\ alpha})}$

cosinus:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ({\ alpha + \ alpha}) = cos \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} - sin \, {\ alfa} \ cdot sin \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {cos (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = cos ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha} - sen ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha}}$

Tangent:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (2 {\ alpha}) = tan ({\ alpha + \ alpha}) = \ frac {tan \, {\ alpha} + tan \, {\ alpha}} {1 - tan \, {\ alpha} \ cdot tan \, {\ alpha}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {tan (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = \ frac {2 \ cdot tan \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 - tan ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha }}}$

Fra disse formler viser vi formlerne for halvbue trigonometriske funktioner.

Trigonometriske funktioner i halvbuen

En af grundlæggende relationer mellem trigonometri er det:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} + cos ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} = 1}$

Hvor får vi:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$

$\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$

udskiftning $\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$ i formlen for cosinus i dobbeltbuen skal vi:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = cos ^ 2 \, {\ alpha} - (1 - cos ^ 2 \, {\ alpha})}$

Tjek nogle gratis kurser

Gratis online inkluderende uddannelseskursus
Gratis online legetøjsbibliotek og læringskursus
Gratis online førskole matematik spil kursus
Gratis online pædagogisk kulturel workshop kursus

$\ dpi {120} \ mathrm {= 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

Derfor: $\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {cos ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1 + cos (2 \ alpha)} {2}}$

udskiftning $\ dpi {120} \ alfa$ om $\ dpi {120} \ alpha / 2$ i formlen ovenfor og udtrækning af kvadratroden på begge sider, har vi formlen for cosinus af buehalvdel:

$\ dpi {120} \ mathbf {cos \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Bemærk: Tegn i formlen vil være positivt eller negativt i henhold til kvadranten på buen halvdel.

Udskifter nu $\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$ i formlen for cosinus i dobbeltbuen skal vi:

instagram story viewer

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = (1 -sen ^ 2 \, {\ alpha}) - sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {= 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

Derfor:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {sen ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1-cos (2 \ alpha)} {2}}$

udskiftning $\ dpi {120} \ alfa$ om $\ dpi {120} \ alpha / 2$ i formlen ovenfor og udtrækning af kvadratroden på begge sider, har vi formlen for sinus af buehalvdel:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1-cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Bemærk: Tegn i formlen vil være positivt eller negativt i henhold til kvadranten på buen halvdel.

Endelig kan vi få tangensbuen til buehalvdelen ved at dividere buehalvdelens sinus med lysbuenes cosinus:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (\ alpha / 2) = \ frac {sen (\ alpha / 2)} {cos (\ alpha / 2)} = \ frac {\ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {2}}} {\ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ alpha} {2}}} = \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {1 + cos \, \ alpha}}}$

Derfor er formlen for halv bue tangens é:

$\ dpi {120} \ mathbf {tan (\ boldsymbol {\ alpha} / 2) = \ pm \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alfa}}}}$

Bemærk: Tegn i formlen vil være positivt eller negativt i henhold til kvadranten på buen halvdel.

Du kan også være interesseret:

trigonometrisk cirkel
trigonometrisk tabel
Trigonometriske forhold
syndens lov
cosinus lov

Adgangskoden er sendt til din e-mail.

Trigonometriske funktioner i halvbuen

Trigonometriske funktioner i halvbuen

Hvordan man vælger børns første læsninger

Bestemmelse af en matrix

Hvad var væbnet fred?