Trigonometriske funktioner i halvbuen


trigonometriske funktioner, sinus, cosinus og tangens, af buehalvdelen kan opnås fra de trigonometriske funktioner i dobbeltbuen.

En målebue \ dpi {120} \ alfa, den dobbelte bue er buen \ dpi {120} 2 \ alfa og halv bue er bue \ dpi {120} \ alpha / 2.

Ved to bue-additionsformler, vi har de trigonometriske funktioner i dobbeltbuen:

Sinus:

\ dpi {120} \ mathrm {sen (2 {\ alpha}) = sen ({\ alpha + \ alpha}) = sin \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} + sin \, {\ alfa} \ cdot cos \, {\ alpha}}
\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {sen (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = 2. (sen \, \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \, \ boldsymbol {\ alpha})}

cosinus:

\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ({\ alpha + \ alpha}) = cos \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} - sin \, {\ alfa} \ cdot sin \, {\ alpha}}
\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {cos (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = cos ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha} - sen ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha}}
Tangent:
\ dpi {120} \ mathrm {tan (2 {\ alpha}) = tan ({\ alpha + \ alpha}) = \ frac {tan \, {\ alpha} + tan \, {\ alpha}} {1 - tan \, {\ alpha} \ cdot tan \, {\ alpha}}}
\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {tan (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = \ frac {2 \ cdot tan \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 - tan ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha }}}

Fra disse formler viser vi formlerne for halvbue trigonometriske funktioner.

Trigonometriske funktioner i halvbuen

En af grundlæggende relationer mellem trigonometri er det:

\ dpi {120} \ mathbf {sen ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} + cos ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} = 1}

Hvor får vi:

\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}
\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}

udskiftning \ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha} i formlen for cosinus i dobbeltbuen skal vi:

\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = cos ^ 2 \, {\ alpha} - (1 - cos ^ 2 \, {\ alpha})}
Tjek nogle gratis kurser
  • Gratis online inkluderende uddannelseskursus
  • Gratis online legetøjsbibliotek og læringskursus
  • Gratis online førskole matematik spil kursus
  • Gratis online pædagogisk kulturel workshop kursus
\ dpi {120} \ mathrm {= 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}

Derfor:\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}

\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {cos ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1 + cos (2 \ alpha)} {2}}

udskiftning \ dpi {120} \ alfa om \ dpi {120} \ alpha / 2 i formlen ovenfor og udtrækning af kvadratroden på begge sider, har vi formlen for cosinus af buehalvdel:

\ dpi {120} \ mathbf {cos \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}

Bemærk: Tegn i formlen vil være positivt eller negativt i henhold til kvadranten på buen halvdel.

Udskifter nu \ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha} i formlen for cosinus i dobbeltbuen skal vi:

\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = (1 -sen ^ 2 \, {\ alpha}) - sen ^ 2 \, {\ alpha}}
\ dpi {120} \ mathrm {= 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}

Derfor:

\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}
\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {sen ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1-cos (2 \ alpha)} {2}}

udskiftning \ dpi {120} \ alfa om \ dpi {120} \ alpha / 2 i formlen ovenfor og udtrækning af kvadratroden på begge sider, har vi formlen for sinus af buehalvdel:

\ dpi {120} \ mathbf {sen \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1-cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}

Bemærk: Tegn i formlen vil være positivt eller negativt i henhold til kvadranten på buen halvdel.

Endelig kan vi få tangensbuen til buehalvdelen ved at dividere buehalvdelens sinus med lysbuenes cosinus:

\ dpi {120} \ mathrm {tan (\ alpha / 2) = \ frac {sen (\ alpha / 2)} {cos (\ alpha / 2)} = \ frac {\ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {2}}} {\ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ alpha} {2}}} = \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {1 + cos \, \ alpha}}}

Derfor er formlen for halv bue tangens é:

\ dpi {120} \ mathbf {tan (\ boldsymbol {\ alpha} / 2) = \ pm \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alfa}}}}

Bemærk: Tegn i formlen vil være positivt eller negativt i henhold til kvadranten på buen halvdel.

Du kan også være interesseret:

  • trigonometrisk cirkel
  • trigonometrisk tabel
  • Trigonometriske forhold
  • syndens lov
  • cosinus lov

Adgangskoden er sendt til din e-mail.

Nominel rente og realrente

Nominel rente og realrente

DET rentesats er en procentværdi, der angiver den indtægt, der optjenes ved at låne eller investe...

read more
Komplekse nummerøvelser: Liste over løste spørgsmål og feedback

Komplekse nummerøvelser: Liste over løste spørgsmål og feedback

Du komplekse tal gøre det muligt at løse matematiske problemer, der ikke har løsninger i sæt af r...

read more

Opmærksomhed! Se hvad der kan og ikke kan i Enem 2020

Afventet af millioner af studerende, National High School Exam (Og enten) begynder at blive anven...

read more