D'Alemberts sætning

D'Alemberts sætning er en umiddelbar konsekvens af den resterende sætning, der vedrører delingen af ​​polynom efter binomium af typen x - a. Den resterende sætning siger, at et polynom G (x) divideret med et binomium x - a vil have resten R lig med P (a), for
x = a. Den franske matematiker D'Alembert beviste under hensyntagen til ovenstående sætning, at et polynom en hvilken som helst Q (x) kan deles med x - a, dvs. resten af ​​divisionen vil være lig med nul (R = 0) hvis P (a) = 0.
Denne sætning gjorde det lettere at beregne delingen af ​​polynom med binomial (x –a), så det er ikke nødvendigt at løse hele divisionen for at vide, om resten er lig med eller forskellig fra nul.
Eksempel 1
Beregn resten af ​​divisionen (x² + 3x - 10): (x - 3).
Som D'Alemberts sætning siger, vil resten (R) af denne division være lig med:
P (3) = R
3² + 3 * 3-10 = R
9 + 9 - 10 = R
18 - 10 = R
R = 8
Så resten af ​​denne division bliver 8.
Eksempel 2
Kontroller, om x⁵ - 2x⁴ + x³ + x - 2 kan deles med x - 1.
Ifølge D'Alembert kan et polynom deles med et binomium, hvis P (a) = 0.

P (1) = (1)⁵ – 2*(1)⁴ + (1)³ + (1) – 2
P (1) = 1-2 + 1 + 1-2
P (1) = 3-4
P (1) = - 1
Da P (1) ikke er nul, kan polynomet ikke deles med binomiet x - 1.
Eksempel 3
Beregn værdien af ​​m, så resten af ​​delingen af ​​polynomet
P (x) = x⁴ - mx³ + 5x² + x - 3 ved x - 2 er 6.
Vi har det, R = P (x) → R = P (2) → P (2) = 6
P (2) = 2⁴ - m * 2³ + 5*2² + 2 – 3
2⁴ - m * 2³ + 5*2² + 2 – 3 = 6
16 - 8m + 20 + 2-3 - 6
- 8m = 6-38 + 3
- 8m = 9-38
- 8m = - 29
m = 29/8
Eksempel 4
Beregn resten af ​​delingen af ​​3x polynomet³ + x² - 6x + 7 x 2x + 1.
R = P (x) → R = P (- 1/2)
R = 3 * (- 1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
R = 3 * (- 1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

af Mark Noah
Uddannet i matematik
Brazil School Team

Polynomer - Matematik - Brasilien skole

Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm