At løse ligninger er en dagligdags aktivitet. Intuitivt løser vi ligninger i vores daglige liv, og vi er ikke engang klar over det. Ved at stille følgende spørgsmål: "Hvad tid skal jeg stå op for at gå i skole, så jeg ikke gør det være forsinket?" og vi får svaret, vi løste faktisk bare en ligning, hvor det ukendte er det tid. Disse hverdagsspørgsmål har altid igangsat matematikere til alle tider i søgen efter løsninger og metoder til løsning af ligninger.
Baskaras formel er en af de mest berømte metoder til løsning af en ligning. Det er en “opskrift”, en matematisk model, der næsten øjeblikkeligt giver rødderne til en 2. graders ligning. Interessant er der ikke så mange formler til løsning af ligninger som du måske tror. Tredje og fjerde grads ligninger er meget komplicerede at løse, og der findes løsningsformler for de enkleste tilfælde af disse typer ligninger.
Det er interessant at vide, at ligningsgraden bestemmer, hvor mange rødder den har. Vi ved, at en 2. graders ligning har to rødder. Derfor vil en 3. graders ligning have tre rødder og så videre. Lad os nu se på, hvad der sker med nogle ligninger.
Eksempel. Løs ligningerne:
a) x2 + 3x - 4 = 0
Løsning: Anvendelse af Baskaras formel til løsning af 2. graders ligning opnår vi:
Vi ved, at a = 1, b = 3 og c = - 4. Dermed,
Da vi løser en 2. graders ligning, har vi to rødder.
b) x3 – 8 = 0
Løsning: I dette tilfælde har vi en ufuldstændig tredjegradsligning med simpel opløsning. 
Løsning: I dette tilfælde har vi en ufuldstændig 4. graders ligning, også kaldet en bi-firkantligning. Løsningen på denne form for ligning er også enkel. Se:
x-ligningen4 + 3x2 - 4 = 0 kan omskrives som følger:
(x2)2 + 3x2 – 4 =0
laver x2 = t og erstatter i ligningen ovenfor opnår vi:
t2 + 3t - 4 = 0 → som er en 2. graders ligning.
Vi kan løse denne ligning ved hjælp af Baskaras formel.
Disse værdier er ikke rødderne til ligningen, da det ukendte er x og ikke t. Men vi skal:
x2 = t
Derefter,
x2 = 1 eller x2 = – 4
af x2 = 1, vi får at x = 1 eller x = - 1.
af x2 = - 4, vi får, at der ikke er reelle tal, der tilfredsstiller ligningen.
Derfor er S = {- 1, 1}
Bemærk, at alternativet Det vi havde en 2. graders ligning, og vi fandt to rødder. Alternativt B vi løser en 3. graders ligning og finder kun en rod. Og elementligningen ç, det var en ligning af 4. grad, og vi fandt kun to rødder.
Som tidligere nævnt bestemmer graden af ligningen, hvor mange rødder den har:
Grad 2 → to rødder
Grad 3 → tre rødder
Grad 4 → fire rødder
Men hvad skete der med de alternative ligninger B og ç?
Det viser sig, at en ligning af grad n ≥ 2 kan have reelle rødder og komplekse rødder. I tilfælde af tredje grads ligning af punkt b finder vi kun en reel rod, de to andre rødder er komplekse tal. Det samme gælder for ligningen i punkt c: vi finder to virkelige rødder, de to andre er komplekse.
Om komplekse rødder har vi følgende sætning.
Hvis det komplekse tal a + bi, b ≠ 0, er roden til ligningen a0xingen + den1xn-1+... + denn-1x + aingen = 0 af reelle koefficienter, så dets konjugat, a - bi, er også roden til ligningen.
Konsekvenserne af sætningen er:
2. ligning i 2. grad med reelle koefficienter → har kun reelle rødder eller to konjugerede komplekse rødder.
3. ligning i 3. grad med ægte koefficienter → har kun ægte rødder eller en ægte rod og to konjugerede komplekse rødder.
• Ligning af 4. grad med ægte koefficienter → har kun ægte rødder eller to komplekse konjugatrødder og to reelle eller kun fire komplekse konjugatrødder, to efter to.
• 5. graders ligning med reelle koefficienter → har kun reelle rødder eller to komplekse rødder konjugeret og den anden ægte eller mindst en ægte rod og de andre komplekse rødder, to og to konjugeret.
Det samme gælder for ligninger af grader større end 5.
Af Marcelo Rigonatto
Specialist i statistik og matematisk modellering
Brazil School Team
Komplekse tal - Matematik - Brasilien skole
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numero-raizes-uma-equacao.htm
