Ó tečkový součin mezi dvěma vektory je reálné číslo, které souvisí s velikostí těchto vektorů, tj. s jejich délkou a úhlem mezi nimi. K jeho výpočtu je tedy nutné znát jejich délky a úhel, který tvoří.
Použitím roviny jako základu vektor označuje polohu, intenzitu, směr a směr. Proto se používá ve studiích mechaniky (fyziky) jako zástupce síly aplikované na objekt.
Obvyklou reprezentací vektoru je šipka, která končí v bodě. Souřadnice tohoto bodu jsou považovány za souřadnice vektoru počínaje od bodu O (0,0). Pro reprezentaci napíšeme v = (a, b). Vektor v = (1,2) je tedy nakreslen takto:
Vektorový příklad počínaje počátkem
Chcete-li vypočítat délku tohoto vektoru, zvažte pravý trojúhelník, který tvoří, a jeho projekci na ose x (nebo ose y), jak je znázorněno na následujícím obrázku:
Délka vektoru v
Volá se délka vektoru v v vektorová norma nebo vektorový modul v a je reprezentován | v |. Všimněte si, že norma vektoru v = (a, b) je přesně mírou přepony trojúhelníku znázorněného na obrázku výše. K výpočtu této míry použijeme Pythagorovu větu:
| v |2 =2 + b2
| v | = √ (a2 + b2 )
Produkt se dvěma vektorovými tečkami
Vzhledem k tomu, dva vektory u a v, je vnitřní produkt mezi nimi reprezentován a je definována jako:
= | u || v | · cosθ
Jedná se o druh násobení mezi dvěma vektory, nicméně se tomu říká produkt, protože se nejedná o běžné násobení, protože zahrnuje úhel tvořený těmito dvěma vektory.
Úhel mezi dvěma vektory
Prvním výsledkem vyplývajícím z výše uvedené definice je úhel mezi dvěma vektory. Se skutečnými čísly „tečkový součin“, „u vektorová norma“ a „v vektorová norma“ je možné vypočítat úhel mezi vektory u a v. Chcete-li to provést, stačí provést výpočty:
Nepřestávejte... Po reklamě je toho víc;)
= | u || v | · cosθ
= cosθ
| u || v |
Proto, dělíme-li vnitřní produkt normami vektorů u a v, najdeme skutečné číslo odkazující na kosinus mezi těmito dvěma vektory a tedy úhel mezi nimi.
Všimněte si, že pokud je úhel mezi dvěma vektory rovný, cosθ se rovná nule. Výše uvedený produkt bude mít tedy následující výsledek:
= 0
Z toho lze usoudit, že vzhledem ke dvěma vektorům u a v budou ortogonální, pokud = 0.
Vnitřní produkt vypočtený z vektorových souřadnic
Vzhledem k dvěma vektorům u = (a, b) a v = (c, d) je bodový součin mezi u a v dán vztahem:
= = a · c + b · d
Vnitřní vlastnosti produktu
Vzhledem k vektorům u, v a w a reálnému číslu α si všimněte:
i) =
To znamená, že vnitřní produkt vektorů je „komutativní“.
ii) = +
Tato vlastnost je srovnatelná s distribučností násobení nad sčítáním.
iii) = = α
Výpočet vnitřního součinu mezi u a v vynásobený reálným číslem α je stejný jako výpočet vnitřního součinu mezi αv a u nebo mezi v a αu.
iv)
Vnitřní součin v s v je pouze nula, pokud v je nulový vektor.
proti)
Vnitřní součin v s v bude vždy větší nebo roven nule.
Autor: Luiz Paulo Moreira
Vystudoval matematiku
