Vy iracionální čísla způsobovalo u matematiků po dlouhou dobu velké znepokojení. Dnes, již dobře definované, známe jako iracionální číslo to, jehož desítkové vyjádření je vždy neperiodické desetinné místo. Hlavní charakteristikou iracionálů a tím, čím se liší od racionálních čísel, je to, že nemůže být reprezentován a zlomek.
Studium iracionálních čísel se prohloubilo, když byly při výpočtu problémů týkajících se Pythagorovy věty nalezeny nepřesné kořeny. Akt hledání řešení těchto nepřesných kořenů učinil existenci nepřesných desátků pozoruhodnou periodické, tj. čísel, jejichž desetinná část je nekonečná a nemá dobrou posloupnost. definované. Hlavními iracionálními čísly jsou neperiodická desetinná místa, nepřesné kořeny a π.
Přečtěte si také: Druhá odmocnina - případ zakořenění, kde je radikální index 2
Sada iracionálních čísel
Před studiem iracionálních čísel byly studovány sady čísel přírodní, celá čísla a racionální. Když jsme se ponořili hlouběji do studia obdélníkového trojúhelníku, bylo jasné, že
existují kořeny, které nemají přesné řešenízejména bylo vidět, že nepřesná kořenová řešení jsou čísla známé jako neperiodické desátky.Uprostřed tohoto nepokoje se mnoho matematiků neúspěšně pokusilo prokázat, že nepřesné kořeny jsou racionální čísla a což lze vyjádřit jako zlomek, ale uvědomilo se, že tato čísla nelze v tomto vyjádřit formulář. Protože dosud racionální čísla neobsahovala tato čísla, vyvstala potřeba vytvořit novou množinu, známou jako množina iracionálních čísel.
Číslo je iracionální, když jeho desetinné vyjádření je neperiodické desetinné číslo. |
Co jsou iracionální čísla?
Aby to bylo iracionální číslo, musí splňovat definici, tj jeho desetinné vyjádření je neperiodické desetinné místo. Hlavní charakteristikou neperiodických desetinných míst je, že je nelze reprezentovat zlomkem, což ukazuje, že iracionální čísla jsou opakem racionálních čísel.
Hlavní čísla s touto funkcí jsou kořeny nejsou přesné.
Příklady:
a) √2
b) √5
c) √7
d) √13
Při hledání nepřesných kořenových řešení, tj. Provádění desetinného vyjádření těchto čísel, vždy najdeme neperiodické desetinné číslo, které dělá z těchto čísel prvky množiny iracionální.
Kromě nepřesných kořenů existují i samotná neperiodická desetinná místa, například když vypočítáme nepřesné kořeny, najdeme neperiodická desetinná místa.
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
Iracionální čísla jsou obvykle reprezentována řeckými písmeny, protože není možné zapsat všechna jeho desetinná místa.
První je π (číst: pi), přítomný ve výpočtu plochy a obvodu kruhů. Má hodnotu rovnou 3,1415926535…
Kromě π je dalším velmi běžným číslem ϕ (číst: fi). Je nalezen v problémech týkajících se poměr zlatý. Má hodnotu rovnou 1,618033 ...
Podívejte se také: Co jsou prvočísla?
racionální a iracionální číslo
Při analýze číselných sad je důležité rozlišovat mezi racionálními čísly a iracionálními čísly. Spojení těchto dvou množin tvoří jednu z nejvíce studovaných množin v matematice, množinu realit, tj. Množinu reálná čísla je to spojení čísel, která mohou být reprezentována jako zlomky (racionální) s čísly, která nemohou být reprezentována jako zlomky (iracionální).
V sadě racionální čísla, existují celá čísla, přirozená, přesná desetinná místa a periodická desetinná místa.
Příklady racionálních čísel:
-60 → celé číslo
2,5 → přesné desetinné místo
5.1111111… → periodické desetinné místo
Iracionální čísla jsou neperiodická desetinná místa, takže neexistuje žádné číslo, které je racionální a iracionální současně.
Příklad iracionálních čísel:
1123149… → neperiodická desátky
2.769235… → neperiodický desátek
Operace s iracionálními čísly
sčítání a odčítání
THE přidání a odčítání dvou iracionálních čísel je obvykle právě zastoupena, pokud není použita desetinná aproximace těchto čísel, například:
a) √6 + √5
b) √6 - √5
c) 1,414213… + 3,1415926535…
Hodnoty nemůžeme sčítat ani odečítat kvůli radikálům, takže jsme právě nechali označenou operaci.
V desetinných vyjádřeních také není možné provést přesný součet, takže k přidání dvou iracionálních čísel potřebujeme racionální aproximaci.a toto zobrazení je vybráno podle potřeby přesnosti těchto údajů. Čím více desetinných míst vezmeme v úvahu, tím blíže k přesnému součtu se dostaneme.
Pozorování:množina iracionálních čísel není uzavřena sčítáním nebo odčítáním, to znamená, že součet dvou iracionálních čísel může mít za následek číslo, které není racionální. Například pokud vypočítáme rozdíl iracionálního čísla podle jeho opaku, musíme:
a) √2 - √2 = 0
b) π + (-π) = 0
Víme, že 0 není iracionální číslo.
Násobení a dělení
Násobení a divize iracionálních čísel lze provést, pokud je reprezentace a záření, nicméně, stejně jako sčítání, v desetinném vyjádření, tj. Násobení nebo dělení dvou desetinných míst, je vyžadováno racionální přiblížení tohoto čísla.
a) √7 · √5 = √35
b) √32: √2 = √16 = 4
Všimněte si také, že v příkladu b je 4 racionální číslo, což znamená, že násobení a dělení dvou iracionálních čísel není uzavřeno, to znamená, že mohou mít racionální výsledek.
vyřešená cvičení
Otázka 1 - Zkontrolujte následující čísla:
I) 3,1415926535
II) 4,1234510….
III) 2π
IV) 1.123123123 ...
V) √36
VI) √12
Jedná se o iracionální čísla:
A) Pouze já, IV a V
B) Pouze II, III a VI
C) Pouze II, IV a VI
D) Pouze I, II, III a VI
E) Pouze III, IV, V a VI
Řešení
Alternativa B
I → číslo je přesné desítkové, racionální.
II → číslo je neperiodické, iracionální desetinné číslo.
III → π je iracionální a jeho dvojník, tj. 2π, je také iracionální.
IV → číslo je periodické, racionální desetinné číslo.
V → přesný, racionální kořen.
VI → kořen není přesný, iracionální.
Otázka 2 - Posuďte prosím následující prohlášení:
I - Sada reálných čísel je spojením racionálních a iracionálních;
II - Součet dvou iracionálních čísel může být racionální číslo;
III - Desátky jsou iracionální čísla.
Při analýze tvrzení můžeme říci, že:
A) Pouze tvrzení I je pravdivé.
B) Platí pouze tvrzení II.
C) Platí pouze tvrzení III.
D) Platí pouze tvrzení I a II.
E) Všechna tvrzení jsou pravdivá.
Řešení
Alternativa D
I → Pravda, protože definice množiny reálných čísel je spojením mezi racionálním a iracionálním.
II → Je pravda, že když k opačnému číslu přidáme číslo, výsledkem bude racionální číslo 0.
III → Falešné, neperiodické desátky jsou iracionální.
Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-irracionais.htm
