Mnohostěn: co to je, prvky, vlastnosti

Mnohostěn (z latiny poly - mnoho - a hedron - tvář) jsou číslatrojrozměrný vytvořený spojením pravidelných mnohoúhelníků, ve kterých jsou polyhedrální úhly shodné. Spojení těchto polygonů tvoří prvky, které tvoří mnohostěn, jsou to: vrcholy, hrany a tváře. Avšak ne každá trojrozměrná postava je mnohostěn, příkladem toho jsou postavy, které mají zakřivené tváře kulatá těla.

Existuje matematický vzorec, který souvisí s prvky mnohostěnu zvaného Eulerův vztah. Mnohostěny jsou navíc rozděleny do dvou skupin: tzv. Mnohostěn konvexní a ne konvexní. Některé mnohostěny si zaslouží zvláštní pozornost, říká se jim Platónova mnohostěna: čtyřstěn, šestistěn, osmistěn, dvanáctistěn a dvacetistěnu.

Přečtěte si také: Rozdíly mezi plochými a prostorovými čísly

konvexní mnohostěn

Mnohostěn bude konvexní, když bude tvořen mnohoúhelníky konvexní, aby byly přijaty následující podmínky:

1. dva z polygonů Nikdy jsou koplanární, to znamená, že nepatří do stejné roviny.
2. Každá strana jednoho z těchto polygonů patří pouze dvěma polygonům.
3. Rovina, která obsahuje kterýkoli z těchto polygonů, ponechává ostatní polygony ve stejném poloprostoru.

Přečtěte si také:Součet vnitřních a vnějších úhlů konvexního mnohoúhelníku

Prvky konvexního mnohostěnu

Zvažte tento konvexní mnohostěn:

Vy čtyřúhelníky na obrázku jsou volány tváře mnohostěnu.

Vy pětiúhelníky jsou tváře a základna mnohostěnu, který je pojmenován pětiúhelníková základna mnohostěn.

Segmenty, které tvoří každou z ploch, se nazývají hrany mnohostěnu.

Body, kde se hrany setkávají, se nazývají vrcholy.

Bude vyvolán segment čáry JC úhlopříčka mnohostěnu, označeno:

JC je jedna z úhlopříček, rozumíme úhlopříčka mnohostěn jako bytost úsečka, která spojuje dva vrcholy, které nepatří ke stejné ploše.

Máme také mnohostěnný úhel, vytvořený mezi okraji, označený:

Mnohostěnný úhel se nazývá a trihedral Když tři hrany pocházejí z vrcholu. Podobně se tomu říká čtyřboká případ čtyři hrany pocházejí z vrcholu atd.

Od této chvíle zavedeme některé notace, které jsou:

Vědět více: Plánování geometrických těles

Vlastnosti konvexního mnohostěnu

• Majetek 1

Součet hran všech ploch se rovná dvojnásobku počtu hran mnohostěnů.

Příklad

Mnohostěn má 6 hranatých ploch. Určíme počet hran.

Podle vlastnosti stačí vynásobit počet hran tváře počtem tváří, a to se rovná dvojnásobku počtu hran. Tím pádem:

• Nemovitost 2

Součet vrcholů všech ploch se rovná součtu hran všech ploch, který se rovná dvojnásobku počtu hran.

Příklad

Mnohostěn s 5 čtyřstěnnými úhly a 4 šestiúhelníkovými úhly. Určíme počet hran.

Analogicky k předchozímu příkladu druhá vlastnost říká, že součet hran všech ploch je roven dvojnásobku počtu hran. Počet hran je dán součinem 5 o 4 a 4 o 6, protože jde o 5 čtyřboká a 4 hexahedrální úhly. Tím pádem:

Konkávní (nekonvexní) mnohostěn

Mnohostěn je nekonvexní nebo konkávní, když vezmeme dva body na různých plochách a na přímce r který obsahuje tyto body, není vše obsaženo v mnohostěnu.

Všimněte si, že přímka (modře) není v mnohostěnu úplná, takže mnohostěn (růžově) je konkávní nebo nekonvexní.

pravidelný mnohostěn

Říkáme, že mnohostěn je pravidelný, když vaše tváře jsou pravidelné polygony jsou si navzájem rovny a polyhedrální úhly stejné.

Podívejte se na několik příkladů:

Všimněte si, že všechny vaše tváře jsou pravidelné mnohoúhelníky. Jeho tváře jsou tvořeny čtverci a hrany jsou shodné, to znamená, že mají stejnou míru.

čísttaky: Co jsou to pravidelné a konvexní polygony?

Eulerův vztah

Také známý jako Eulerova věta, výsledek prokázal Leonhard Euler (1707 - 1783) a zaručuje, že v r celý uzavřený konvexní mnohostěn následující vztah je platný:

Platónova mnohostěna

Jakýkoli mnohostěn, který splňuje následující podmínky, se nazývá Platónův mnohostěn:

1. Eulerův vztah je platný

2. Všechny tváře mají stejný počet hran

3. Všechny mnohostěnné úhly mají stejný počet hran

Je dokázáno, že existuje pouze pět pravidelných a konvexních mnohostěnů nebo Platónových mnohostěnů:

• pravidelný čtyřstěn

čtyřstěn má 4 trojúhelníkové plochy shodné a 4 trihedrální úhly shodný.

• pravidelný šestistěn

šestistěn má 6 čtvercových ploch shodné a 8 trihedrálních úhlů shodný.

• pravidelný osmistěn

osmistěn má 8 trojúhelníkových ploch shodné a 6 čtyřbokých úhlů shodný.

• pravidelný dvanáctistěn

dvanáctistěn má 12 pětiúhelníkových ploch shodné a 20 úhlůtrihedral shodný.

• pravidelný dvacetistěn

Dvacetistěn má 20 trojúhelníkových ploch shodné a 12 pentahedrálních úhlů shodný.

vyřešená cvičení

1) (Enem) Klenot byl vyřezán ve formě konvexního mnohostěnu s 32 tvářemi, z nichž 20 je šestistěn a zbytek je pětiúhelník. Tento klenot bude dárkem pro dámu, která slaví své narozeniny a završuje věk, jehož počet je počet vrcholů tohoto mnohostěnu. Tato dáma dokončuje:

a) 90 let

b) 72 let

c) 60 let

d) 56 let

e) 52 let

Řešení:

Dává vlastnost 1 konvexních mnohostěnů víme, že:

Teď jak známe počet hran to je počet tváří, můžeme použít Eulerův vztah.

Jelikož věk, který dokončujete, se rovná počtu vrcholů, je to 60 let. Alternativní c.

2) (PUC-SP) Kolik hran má konvexní mnohostěn s trojúhelníkovými plochami, kde je počet vrcholů tři pětiny počtu ploch?

a) 60

b) 30

c) 25

d) 20

e) 15

Řešení:

Z vlastností konvexního mnohostěnu a prohlášení o cvičení máme:

Nahrazením těchto hodnot ve vztahu Euler máme následující:

Z organizace předchozí rovnice a řešení rovnice v F vyplývá, že:

Dosazením hodnoty počtu ploch nalezených v rovnici hran budeme mít:

Alternativa b

Robson Luiz
Učitel matematiky