THE kombinatorická analýza je obor matematiky spojený s pravidly počítání. Na začátku 18. století způsobilo studium her zahrnujících kostky a karty velký rozvoj teorií počítání.
Práce kombinatoriky umožňuje realizaci stále přesnějších počtů.Základní princip počítání (PFC), faktoriál a typy seskupení jsou příklady konceptů studovaných v kombinatorické analýze, které kromě poskytování větší přesnost pomáhá Nerozvoj dalších oblastí matematiky, jako např The pravděpodobnost a Ó Newtonův binomický.
Přečtěte si také: uspořádání nebo Ckombinace?
K čemu slouží kombinatorická analýza?
Kombinatorická analýza je spojena s procesem počítání, to znamená, že studium této oblasti matematiky nám umožňuje vyvinout nástroje, které nám pomohou provádět se počítá efektivněji. Podívejme se na typický problém počítání, viz:
Příklad 1
Zvažte tři města A, B a C spojená dálnicemi R1, R.2, R.3, R.4 a R.5. Určete, kolik způsobů se můžeme dostat z města A do města C přes město B.
Všimněte si, že musíme opustit město A a jít do města B, a až potom můžeme cestovat do města C, takže pojďme analyzovat všechny
možnosti provést akci po dálnicích.1. způsob: R1 → R3
2. způsob: R1 → R4
3. způsob: R1 → R5
4. způsob: R2 → R3
5. způsob: R2 → R4
6. způsob: R2 → R5
Máme tedy šest různých způsobů, jak se dostat z města A do města C přes město B. Mějte však na paměti, že navrhovaný problém je relativně jednoduchý a že provedená analýza byla málo pracná. Od nynějška tedy budeme studovat sofistikovanější nástroje, které umožní řešit problémy s mnohem méně práce.
Základní princip počítání (PFC)
Zvažte událost E, kterou lze provést v n nezávislých a po sobě jdoucích krocích. Nyní zvažte, že počet možností k provedení prvního kroku se rovná P1, také si představte, že počet možností provedení druhé fáze je P.2, a tak dále, dokud se nedostaneme do poslední fáze, která má PNe možnosti, které je třeba provést.
Základní princip počítání (PFC) stanoví, že: celkové možnosti pořádání akce E je dáno:
P1 · P2 ·… · PNe
Součet je tedy dán součinem možností každého z kroků, které tvoří událost E. Všimněte si, že k určení celkových možností pro pořádání události E je nutné znát celkové možnosti pro každou z fází.
Příklad 2
Zopakujme příklad 1 pomocí základního principu počítání.
Zvažte obrázek v příkladu 1.
Všimněte si, že událost může probíhat ve dvou fázích, první bude z města A do města B a druhá z města B do města C. K provedení prvního kroku máme dvě možnosti (silnice R1 a R.2) a k provedení druhé etapy máme tři možnosti (R.3, R.4 a R.5).
1. krok → dvě možnosti
2. fáze → tři možnosti
Podle základního principu počítání musíme násobit celkové možnosti každého kroku.
2 · 3
6
Proto, abychom se dostali z města A do města C přes město B, máme celkem šest možností.
Příklad 3
Kolik způsobů lze rozdělit na tři olympijské medaile v soutěži horské kolo s pěti konkurenty?
Organizace distribuce medailí je událost, kterou lze uskutečnit ve třech fázích. Prvním krokem je analýza celkových možností, kdo získá zlatou medaili, tj. Pět možnosti.
Druhým krokem je analýza možností, kdo získá stříbrnou medaili, tj. čtyři, protože první místo tuto volbu nezadává. Třetím krokem je analýza celkových možností, kdo získá bronzovou medaili, tj. tři, protože první dva již byli vybráni.
1. krok → pět možností
2. fáze → čtyři možnosti
3. fáze → tři možnosti
Takže základním principem počítání máme:
5 · 4 · 3
60 možností
Podívejte se také: Princip aditivního počítání - sjednocení jedné nebo více sad
Faktoriální
Ó faktoriál je způsob rozložit přirozené číslo. Chcete-li vypočítat faktoriál čísla, vynásobte ho všemi jeho předchůdci až po číslo 1. Faktoriál je reprezentován vykřičníkem - „!“.
Podívejte se na několik příkladů, jak vypočítat faktoriál některých čísel.
The) 2! (čte: dva faktoriály)
Pro výpočet jednoduše vynásobte číslo, které doprovází faktoriál všemi jeho předchůdci až po číslo 1, například takto:
2! = 2 ·1 = 2
B) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
C) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
d) 1! = 1
Formálně můžeme faktoriál napsat následovně:
Uvažujme přirozené číslo n> 2. Faktoriál n je označen n! a je dáno vynásobením n všemi jeho kladnými celočíselnými předchůdci.
Ne! = n (n - 1) · (n - 2) · (n - 3) ·… · 1
Všimněte si následujících faktoriálů:
4! a 5!
Nyní proveďte vývoj obou:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
Všimněte si, že ve vývoji 5! se objevuje vývoj 4!. Takže můžeme napsat 5! tím pádem:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
Příklad 4
Vypočítejte faktoriálovou sekunduvýt:
Podívejte se, že 15! byl vyvinut až do 13!. Všimněte si také, že v čitateli zlomku se prvky násobí, takže můžeme „vystřihnout“ 13!, což má za následek pouze 15,14.
Pozorování:0! = 1
Typy seskupení
Některé problémy s počítáním jsou složitější a snáze řešitelné pomocí nových nástrojů. Tyto nástroje se nazývají seskupování, protože seskupují prvky různými způsoby, což usnadňuje proces počítání. Jedná se o tato seskupení: jednoduché uspořádání, permutace a jednoduchá kombinace.
jednoduché uspořádání
Zvažte množinu s n odlišnými prvky. řekněme tomu dohoda od n prvky převzaté z p na p, jakákoli sekvence seřazená podle p a odlišné prvky vybrané mezi prvky.
Počet podmnožin tvořených p prvky bude tedy uspořádáním n prvků převzatých z p na p. Vzorec, který nám umožňuje vypočítat počet uspořádání, je dán vztahem:
Příklad 5
Vypočítejte hodnotu A4,2 + A5,2.
Chcete-li vypočítat hodnotu výrazu, určíme každé z polí a poté tyto hodnoty přidáme dohromady. Abychom určili hodnotu každého pole, musíme nahradit hodnoty ve vzorci.
Všimněte si, že n = 4 ap = 2, oba byly ve vzorci nahrazeny. Nyní musíme vypočítat hodnotu pole pěti prvků, které se berou dva po dvou.
Musíme tedy:
THE4,2 + A5,2
12 + 20
32
Příklad 6
Kolik odlišných čtyřmístných přirozených čísel lze vytvořit pomocí čísel 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9?
V tomto problému můžeme použít jednoduché uspořádání od 2435 ≠ 4235. Uvidíme, že v některých případech je pořadí prvků nerozlišuje, a proto nemůžeme použít uspořádání.
Protože chceme určit součet čísel, která lze vytvořit, všimněte si, že součet prvků je roven osm, a chceme je seskupit čtyři po čtyřech, takže:
jednoduchá permutace
Zvažte množinu s n prvky. řekněme tomu jednoduchá permutace z n prvků každé uspořádání n prvků převzato n až n. Musíme tedy:
Aby nedošlo k záměně mezi pojmy, označme jednoduchou permutaci n prvků PNe. Musíme tedy:
PNe = n!
Příklad 7
Vypočítat P7 a P3.
K výpočtu těchto permutací musíme nahradit hodnoty ve vzorci. Dívej se:
P7 = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
P3 = 3 · 2 · 1
P3 = 6
Příklad 8
Určete, kolik anagramů může být ve slově Brazílie.
Jako anagram chápeme všechny možné transpozice písmen slova, například „Lisarb“ je a anagram slova Brazílie. Abychom určili počet přesmyček, musíme vypočítat permutaci písmen ve slově, takže musíme:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Slovo Brazílie má tedy 720 přesmyček.
Také přístup: Permutace s opakovanými prvky
jednoduchá kombinace
Zvažte množinu A s n odlišnými prvky. řekněme tomu kombinace z n prvků převzatých p na p libovolná podmnožina A tvořená p prvky. Vzorec pro výpočet kombinace je dán vztahem:
Příklad 9
Vypočítejte kombinaci 10 prvků ze čtyř na čtyři.
Příklad 10
Kolik čtyřúhelníky zřetelně můžeme tvořit s vrcholy v bodech A, B, C, D, E a F?
Všimněte si, že čtyřúhelník ABCD je v tomto kontextu stejný jako čtyřúhelník CDBA, proto bychom měli používat kombinaci a ne pole. Máme celkem šest bodů a chceme je spojit čtyři ke čtyřem, například takto:
Proto můžeme vytvořit 15 odlišných čtyřúhelníků.
Kombinatorická analýza a pravděpodobnost
Studium pravděpodobnost úzce souvisí se studiem kombinatorické analýzy.. U některých problémů s pravděpodobností je nutné určit prostor vzorku, který se skládá ze sady tvořené všemi možnými výsledky dané události.
V některých případech je ukázkový prostor E psán velmi přímo, jako při převrácení spravedlivé mince, kde možnými výsledky jsou hlavy nebo ocasy a jsou označeny takto:
E = {hlavy, ocasy}
Nyní si představte následující situaci: kostka je hozena třikrát po sobě a máme zájem o určení prostoru vzorku pro tento experiment. Všimněte si, že zapisování všech možností už není jednoduchý úkol, musíme použít základní princip počítání (PFC). Událost může být provedena ve třech fázích, v každé z nich máme šest možností, protože kostka má šest tváří, například:
1. etapa → šest možností
2. fáze → šest možností
3. fáze → šest možností
Podle PFC máme souhrn možností:
6 · 6 · 6
216
Můžeme tedy říci, že ukázkový prostor této události je 216.
Podívejte se, že pro studium pravděpodobnosti to je jsou požadovány základní znalosti kombinatorické analýzy., protože bez určení prostoru vzorku experimentu je nemožné vyřešit drtivou většinu cvičení pravděpodobnosti. Více podrobností o této oblasti matematiky si přečtěte text:Pravděpodobnost.
vyřešená cvičení
Otázka 1 - Určete počet anagramů slova hrad. Poté určete počet přesmyček začínajících písmenem c.
Řešení
Abychom určili počet přesmyček, musíme vypočítat permutaci počtu písmen, například takto:
P7 = 7!
P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
Slovo má 5040 přesmyček. Nyní, abychom určili počet přesmyček, které začínají písmenem c, musíme písmeno opravit a vypočítat přesmyčky ostatních, viz:
C__ __ __ __ __ __
Když opravíme písmeno c, nezapomeňte, že pro výpočet permutace zbývá šest polí, například takto:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Takže máme 720 anagramů slova hrad, které začínají písmenem c.
otázka 2 - Ve třídě je pět mužů a sedm žen. Kolik skupin tří mužů a čtyř žen lze vytvořit?
Řešení
Nejprve se podívejte, že na pořadí, ve kterém si vybíráme lidi, nezáleží, například skupina vytvořená João, Marcos a José jsou stejná skupina, kterou tvoří Marcos, João a José, proto musíme použít kombinaci pro výpočet.
Počítáme samostatně počet skupin, které mohou tvořit muži a ženy Pak tyto výsledky vynásobme, protože každá skupina mužů se může míchat s každou skupinou ženy.
Muži
Celkem → 5
Množství ve skupině → 3
Ženy
Celkem → 7
Množství ve skupině → 4
Proto celkový počet skupin, které mohou tvořit tři muži a čtyři ženy, je:
C5,3 · C7,4
10 · 35
350
Robson Luiz
Učitel matematiky
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/analise-combinatoria.htm
