Operace s vektory a geometrickými reprezentacemi

Na rozdíl od jím vytvořených geometrických obrazců Skóre nemá žádnou definici. To znamená, že v Geometrii je bod nedefinovaný objekt používaný při definování dalších objektů. Čáry jsou například sady bodů. I když vypadají dobře definované, čáry také nemají žádnou definici, protože každá sada obsahující dva nebo více bodů je považována za přímou.

Na druhé straně v analytické geometrii je bod považován za místo. Libovolné místo může být reprezentováno bodem a navíc je „adresa“ daného bodu dána pomocí souřadnic.

V analytické geometrii jsou však body schopné označovat pouze místa. K označení trajektorie, směru, směru a intenzity jsou potřeba další objekty. V případě těchto posledních tří je objekt zvolený k jejich reprezentaci v kartézské rovině vektor.

→ Co je to vektor?

Vektory, jsou tedy objekty, které označují směr, smysl a intenzitu. Obvykle jsou reprezentovány šipkami, které začínají od počátku, a používají se souřadnice jejich posledního bodu.

Na obrázku výše jsou vektory reprezentovány tímto způsobem, tj. Šipky, jejichž souřadnice odpovídají jejich konečnému bodu. Vektor u má souřadnice (2,2) a vektor v má souřadnice (4,2). Šipka se také používá k označení směru a směru a její velikost označuje intenzitu.

→ Násobení vektorů číslem

Vzhledem k vektoru v = (a, b) je součin reálného čísla k podle v dán výrazem:

k · v = k · (a, b) = (k · a, k · b)

Jinými slovy, pro vynásobení reálného čísla vektorem musíte vynásobit skutečné číslo každou z jeho souřadnic.

Geometricky, vynásobení vektoru reálným číslem zvětší velikost vektoru lineárně:

Všimněte si, že ve výše uvedeném příkladu má vektor u souřadnice (2.2) a vektor u · k souřadnice (4.4). Při řešení rovnice (4.4) = k (2.2) můžeme konstatovat, že k = 2.

→ Přidání vektorů

Vzhledem k tomu, že dva vektory u = (a, b) a v = (c, d), bude součet mezi nimi získán pomocí výrazu:

u + v = (a + c, b + d)

Jinými slovy, jednoduše sečtěte odpovídající souřadnice každého vektoru. Tuto operaci lze rozšířit na součet 3 nebo více vektorů se 3 nebo více rozměry.

Geometricky, počínaje koncovým bodem vektoru u, je vektor v 'nakreslen rovnoběžně s vektorem v. Počínaje vektorem v je vektor u 'nakreslen rovnoběžně s vektorem u. Tyto čtyři vektory tvoří rovnoběžník. Vektor u + v je následující úhlopříčka tohoto rovnoběžníku:

Nepřestávejte... Po reklamě je toho víc;)

Chcete-li odečíst vektory, zvažte odčítání jako součet jednoho vektoru a opaku druhého. Chcete-li například odečíst vektor v od vektoru u, napište: u - v = u + (-v). Vektor -v je vektor v, ale s obrácenými znaménky souřadnic.

Podíváme-li se blíže, operace „vynásobení vektoru číslem“ a „přidání vektorů“ využít operace násobení a sčítání na reálných číslech, ale na každé složce vektor. Proto pro vektory platí všechny vlastnosti sčítání a násobení reálných čísel, jmenovitě:

Vzhledem k vektorům u, v a w a reálným číslům k a l,

i) (u + v) + w = ​​u + (v + w)

ii) u + v = v + u

iii) existuje vektor 0 = (0,0) takový, že v + 0 = v

iv) Existuje vektor -v takový, že v + (-v) = 0

v) k (u + v) = ku + kv

vi) (k + l) v = kv + lv

vii) kl (v) = k (lv)

viii) 1v = v

→ Standard vektoru

Norma vektoru je ekvivalentem velikosti reálného čísla, tj. Vzdálenost mezi vektorem a bodem (0,0) nebo, v závislosti na referenčním rámci, délka vektoru.

Norma vektoru v = (a, b) je označena || v || a lze jej vypočítat pomocí výrazu:

|| v || = √ (a2 + b2)

→ Interní produkt

Vnitřní produkt je srovnatelný s produktem mezi vektory. Produkt uvedený výše je součinem mezi vektorem a reálným číslem. Nyní je dotyčný „produkt“ mezi dvěma vektory. Neměli bychom však říkat „produkt mezi dvěma vektory“, ale spíše „interní produkt mezi dvěma vektory“. Vnitřní součin mezi vektory v = (a, b) a u = (c, d) je označen a lze jej vypočítat takto:

= a · c + b · d

Je také obvyklé používat následující zápis:

=

Všimněte si, že pomocí normy vektoru v = (a, b) můžeme uvést do vztahu normu a bodový součin.

|| v || = √ (a2 + b2) = √ (a · a + b · b) = √ ()


Autor: Luiz Paulo Moreira
Vystudoval matematiku

Analytická geometrie: co to studuje, základní pojmy

Analytická geometrie: co to studuje, základní pojmy

analytická geometrie je obor matematika kde je to možné představují geometrické prvky, jako body,...

read more
Jedna vektorová norma

Jedna vektorová norma

Norma jednoho vektoru je jiné jméno dané modul vektoru. Abychom porozuměli pojmu modulu nebo norm...

read more
Úhel mezi dvěma vektory

Úhel mezi dvěma vektory

Vektory jsou matematické objekty odpovědné za popis trajektorie bodů. Mnohokrát tyto body předsta...

read more