Motivace ke studiu operace mezi sadami pochází z lehkosti, kterou přinášejí při řešení každodenních numerických problémů. Budeme používat některé grafické nástroje, například Vennův diagram-Euler, k definování hlavních operací mezi dvěma nebo více sady, a to: sjednocení množin, průnik množin, rozdíl množin a doplňková množina.
spojení množin
Spojením mezi dvěma nebo více sadami bude nová sada složená z prvků, které patří alespoň k jedné z dotyčných sad. Formálně je sada odborů dána:
Nechť A a B jsou dvě množiny, spojení mezi nimi je tvořeno prvky, které patří do množiny A nebo množiny B.
Jinými slovy, stačí se připojit k prvkům A s těmi z B.
Příklad:
a) Zvažte množiny A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} a B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}:
A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
b) A = {x | x je přirozené sudé číslo} a B {y | y je přirozené liché číslo}
Spojení všech přirozených čísel a všech přirozených šancí vede k celé sadě přirozených čísel, takže musíme:
Průnik množin
Průsečík mezi dvěma nebo více množinami bude také novou množinou tvořenou
prvky, které patří současně ke všem zúčastněným sadám. Formálně máme:
Nechť A a B jsou dvě množiny, průnik mezi nimi je tvořen prvky, které patří do množiny A a množiny B. Musíme tedy vzít v úvahu pouze prvky, které jsou v obou sadách.
Příklad
a) Zvažte množiny A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} a C = {0, –1, –2, –3 }
A ∩ B = {2, 4, 6}
A ∩ C = {}
B ∩ C = {0}
Volá se sada, která nemá žádné prvky prázdná sada a lze ji vyjádřit dvěma způsoby.
Přečtěte si také: Definice sady
rozdíl množin
Rozdíl mezi dvěma sadami, A a B, je dán prvky, které patří k A a Ne patří B.
Ve Venn-Eulerově diagramu je rozdíl mezi množinami A a B:
Příklad
Zvažte množiny A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7} a C = {}. Pojďme určit následující rozdíly.
A - B = {5}
A - C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
C - A = {}
Všimněte si, že v sadě A - B zpočátku vezmeme sadu A a „vyjmeme“ prvky ze sady B. V sadě A - C vezmeme A a „vyjmeme“ prázdnotu, tj. Žádné prvky. Nakonec v C - A vezmeme prázdnou množinu a „vyjmeme“ prvky z A, které tam již dále nebyly.
Přečtěte si také: Důležité poznámky o sadách
Doplňkové sady
Zvažte množiny A a B, kde množina A je obsažena v množině B, to znamená, že každý prvek A je také prvkem B. Rozdíl mezi množinami, B - A, se nazývá doplněk A vzhledem k B. Jinými slovy, doplňkový je tvořen každým prvkem, který nepatří do množiny A ve vztahu k množině B, ve které je obsažen.
Příklad
Zvažte množiny A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} a B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Doplněk A ve vztahu k B je:
vyřešená cvičení
Otázka 1 - Vezměme množiny A = {a, b, c, d, e, f} a B = {d, e, f, g, h, i}. Určete (A - B) U (B - A).
Řešení
Nejprve určíme množiny A - B a B - A a poté provedeme sjednocení mezi nimi.
A - B = {a, b, c, d, e, f} - {d, e, f, g, h, i}
A - B = {a, b, c}
B - A = {d, e, f, g, h, i} - {a, b, c, d, e, f}
B - A = {g, h, i}
Proto (A - B) U (B - A) je:
{a, b, c} U {g, h, i}
{a, b, c, g, h, i}
otázka 2 - (Vunesp) Předpokládejme, že A U B = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A ∩ B = {d, e} a A - B = {a, b, c}, pak:
a) B = {f, g, h}
b) B = {d, e, f, g, h}
c) B = {}
d) B = {d, e}
e) B = {a, b, c, d, e}
Řešení
Alternativa b.
Uspořádání prvků v Venn-Eulerově diagramu podle prohlášení máme:
Proto množina B = {d, e, f, g, h}.
Robson Luiz
Učitel matematiky
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm
