Exponenciální funkce: typy, graf, cvičení

THE exponenciální funkce nastane, když je ve svém zákonu formování proměnná v exponentu, s doménou a protidoménou v reálná čísla. Doménou exponenciální funkce jsou reálná čísla a doménou čítače jsou nenulová kladná reálná čísla. Váš zákon o školení lze popsat f (x) =The^X, o tom, co The je kladné reálné číslo jiné než 1.

Ó grafický exponenciální funkce bude vždy v prvním a druhém kvadrantu karteziánské roviny a může se zvyšovat, když The je číslo větší než 1 nebo klesá, když The je kladné číslo menší než 1. THE inverzní funkce exponenciální funkce je logaritmická funkce, díky níž jsou grafy těchto funkcí vždy symetrické.

Přečtěte si také: Co je funkce?

Co je to exponenciální funkce?

Jak název napovídá, pojem exponenciál je spojen s exponentem. Definice exponenciální funkce je tedy a funkce, jejíž doména je množina reálných čísel a protidoména je množina nenulových kladných reálných čísel., popsal : ℝ → ℝ *₊. Jeho zákon formování je popsán rovnicí f (x) = The^X, o tom, co The je to jakékoli reálné číslo, kladné, ne null a dané základní jméno.

instagram story viewer

Příklady:

Ve formačním zákoně lze f (x) také popsat jako y a stejně jako v ostatních funkcích je známá jako závislá proměnná, protože její hodnota závisí na x, které je známé jako proměnná. nezávislý.

Typy exponenciálních funkcí

Exponenciální funkce lze rozdělit do dvou odlišných případů. S ohledem na chování funkce to může být vzestupně nebo sestupně.

Exponenciální funkce se nazývá rostoucí, pokud se zvyšuje hodnota x, zvyšuje se také hodnota f (x). K tomu dochází, když je základna větší než 1, to znamená: The > 1.

Příklad:

Exponenciální funkce je považována za klesající, pokud s rostoucí hodnotou x klesá hodnota f (x). K tomu dochází, když je základem číslo mezi 0 a 1, tj. 0 < The < 1.

Příklad:

Přečtěte si také: Rozdíly mezi funkcí a rovnicí

Graf exponenciálních funkcí

Aby bylo možné nakreslit grafické znázornění exponenciální funkce, je nutné najít obrázek pro některé hodnoty domény. Graf exponenciální funkce má charakteristiku růstu mnohem větší než růst lineární funkce, pokud se zvyšuje, nebo větší pokles, když klesá.

Příklady:

a) Sestavte graf funkce: f (x) = 2^X.

Protože> 1, pak se tato funkce zvyšuje. Chcete-li sestavit graf, přidělíme některé hodnoty x, jak je znázorněno v následující tabulce:

Nyní, když známe některé body funkce, je možné je označit v Kartézské letadlo a zakreslete křivku exponenciální funkce.

b) Vytvořte graf následující funkce:

V tomto případě je funkce sestupná, protože základem je číslo mezi 0 a 1, potom bude graf sestupný.

Po nalezení některých číselných hodnot je možné reprezentovat graf funkce v kartézské rovině:

Vlastnosti exponenciální funkce

→ 1. vlastnost

V jakékoli exponenciální funkci bez ohledu na její základní hodnotu , Musímef (0) = 1. Koneckonců víme, že se jedná o vlastnost potence, to znamená, že každé číslo zvýšené na 0 je 1. To znamená, že graf bude vždy protínat svislou osu v bodě (0,1).

→ 2. vlastnost

Exponenciální funkce je injektor. Data x₁ a x₂ takové, že x₁ ≠ x₂, takže obrázky se budou také lišit, tj. f (x₁) ≠ f (x₂), což znamená, že pro každou hodnotu obrázku existuje v doméně jedna hodnota, která odpovídá tomuto obrázku.

Být injektivní znamená, že pro jiné hodnoty než y bude existovat jedna hodnota x, která činí f (x) rovnou y.

→ 3. vlastnost

Je možné znát chování funkce podle její základní hodnoty. Graf bude růst, pokud je základna větší než 1 (The > 1) a klesající, pokud je základna menší než 1 a menší než 0 (0

→ 4. vlastnost

Ó graf exponenciální funkce je vždy v 1. a 2. kvadrantu, protože pultoména funkce jsou nenulové kladné reálné hodnoty.

Přečtěte si také: Jak graf funkce?

Exponenciální funkce a logaritmická funkce

Protože exponenciální funkce je funkce, která připouští inverzi, je toto srovnání mezi exponenciální funkcí a logaritmickou funkcí nevyhnutelné. Ukázalo se, že logaritmická funkce je inverzní funkcí exponenciálu. Grafy těchto funkcí jsou symetrické kolem osy osy x. Být inverzní funkcí znamená, že logaritmická funkce dělá opak toho, co exponenciální funkce, tj. v exponenciální funkci, je-li f (x) = y, pak logaritmická funkce, která je inverzní, bude označena f^-1 f^-1 (y) = x.

Graf exponenciální funkce je symetrický s grafem logaritmické funkce.

vyřešená cvičení

(Enem 2015) Dělnická unie společnosti naznačuje, že platová hranice třídy je 1 800,00 R $, což navrhuje fixní procentní nárůst pro každý rok věnovaný práci. Výraz, který odpovídá návrhům platů jako funkce délky služby (t) v letech, je s (t) = 1800 · (1,03)^t.

Podle návrhu odborového svazu bude plat profesionála z této společnosti s 2 roky služby v realitě

a) 7 416,00

b) 3 819,24

c) 3 709,62

d) 3 708,00

e) 1909,62

Řešení:

Chceme vypočítat obraz funkce, když t = 2, tj. S (2). Dosazením t = 2 ve vzorci zjistíme, že:

s (2) = 1800 · (1,03) 2

s (2) = 1800 · 1,0609

s (2) = 1909,62

Alternativní E

2) (Enem 2015) Přidání technologií do systému průmyslové výroby má za cíl snížit náklady a zvýšit produktivitu. V prvním roce provozu vyrobilo průmyslové odvětví 8000 jednotek konkrétního produktu. Následující rok investovala do technologie, pořizování nových strojů a zvýšení produkce o 50%. Odhaduje se, že toto procentní zvýšení se bude v příštích letech opakovat, což zaručí roční růst o 50%. Nechť P je roční množství produktů vyrobených v roce t provozu odvětví.

Pokud je dosaženo odhadu, jaký je výraz, který určuje počet vyrobených jednotek Pve funkci t, pro t ≥ 1?

The) P(t) = 0,5 · t ^-1 + 8 000

B)P(t) = 50 · t ^-1+ 8000

C)P(t) = 4 000 · t^-1 + 8 000

d)P(t) = 8 000 · (0,5)^t-1

a)P(t) = 8 000 · (1,5)^t-1

Řešení:

Všimněte si, že mezi rokem existuje vztah t a množství určitého produktu P. S vědomím, že v každém roce dochází k nárůstu o 50%, to znamená, že při srovnání produkce před rokem a po něm hodnota druhého odpovídá 150%, což je 1,5. S vědomím, že počáteční produkce je 8000 a že v prvním roce to byla výroba, můžeme popsat tuto situaci:

V prvním roce, tedy pokud t = 1 → s (t) = 8 000.
Ve druhém roce, pokud t = 2 → P(2) = 8 000 · 1,5.
Ve třetím roce, pokud t = 3 → P(3) = 8 000 · 1,5 · 1,5 = 8 000 · 1,5².
Po t letech budeme mít P(t) = 8 000 · (1,5)^t-1.