Jeden aritmetický postup (PA) je a sekvence numerický, ve kterém je každý člen součtem toho předchozího konstantou, která se nazývá poměr. Existují matematické výrazy určit termín PA a vypočítat jeho součet Ne první termíny.
Vzorec použitý k výpočtu součet podmínek konečné PA nebo součet Ne první podmínky PA jsou následující:
sNe = na1 +Ne)
2
* n je počet termínů BP; The1 je první termín aNe je poslední.
Původ součtu podmínek PA
Říká se, že německý matematik Carl Friederich Gauss, přibližně ve věku 10 let, byl ve škole potrestán svou třídou. Učitel řekl studentům, aby sečetli všechna čísla, která se objevují v sekvence od 1 do 100.
Gauss nebyl jen první, kdo skončil ve velmi krátké době, byl také jediný, který získal správný výsledek (5050). Kromě toho neprokázala žádné výpočty. Co udělal, bylo opravit následující majetek:
Součet dvou členů ve stejné vzdálenosti od extrémů konečné PA se rovná součtu extrémů.
Nebyly o tom žádné znalosti PÁNEV v té době, ale Gauss si prohlížel seznam čísel a uvědomil si, že přidání prvního do posledního by vedlo k 101; přidáním druhého k předposlednímu bude výsledek také 101 atd. Jako součet všech párů výrazů
stejně vzdálený z extrémů dosáhl 101, Gauss musel pouze znásobit toto číslo polovinou dostupných výrazů, aby našel výsledek 5050.Všimněte si, že od čísla 1 do čísla 100 je přesně 100 čísel. Gauss si uvědomil, že kdyby je přidal dva po dvou, získal by 50 výsledků, což by se rovnalo 101. Toto násobení bylo proto provedeno polovinou celkových podmínek.
Demonstrace součtu podmínek PA
Tento čin vedl k výrazu použitému k výpočtu součet Ne první podmínky PA. Taktika použitá k dosažení tohoto výrazu je následující:
jeden PÁNEV přidáme prvních n podmínek. Matematicky budeme mít:
sNe =1 +2 +3 +... +n - 2 +n - 1 +Ne
Těsně pod tímto součet podmínek, napíšeme další, se stejnými pojmy jako předchozí, ale v klesajícím smyslu. Všimněte si, že součet podmínek v první se rovná součtu podmínek ve druhé. Proto byly oba přirovnány k SNe.
sNe =1 +2 +3 +... +n - 2 +n - 1 +Ne
sNe =Ne +n - 1 +n - 2 +... +3 +2 +1
Všimněte si, že tyto dva výrazy byly získány z jednoho PÁNEV a že ekvidistantní členy jsou zarovnány svisle. Proto můžeme přidat výrazy, abychom získali:
sNe =1 +2 +3 +... +n - 2 +n - 1 +Ne
+ sNe =Ne +n - 1 +n - 2 +... +3 +2 +1
2SNe = (1 +Ne) + (a2 +n - 1) +… + (An - 1 +2) + (aNe +1)
Pamatujte, že součet členů ve stejné vzdálenosti od extrémů se rovná součtu extrémů. Proto může být každá závorka nahrazena součtem extrémů, jak uděláme dále:
2SNe = (1 +Ne) + (a1 +Ne) +... + (1 +Ne) + (a1 +Ne)
Gaussovým nápadem bylo přidat ekvidistantní členy posloupnosti. Takže dostal poloviční množství termínů PÁNEV ve výsledcích 101. Udělali jsme to tak, že každý člen počátečního BP byl přidán k jeho ekvidistantní hodnotě, zachování jeho počet termínů. Jelikož tedy PA měla n členů, můžeme součet ve výše uvedeném výrazu změnit násobením a vyřešit rovnice najít:
2SNe = (1 +Ne) + (a1 +Ne) +... + (1 +Ne) + (a1 +Ne)
2SNe = n (a1 +Ne)
sNe = na1 +Ne)
2
Toto je přesně vzorec použitý k přidání Ne první podmínky PA.
Příklad
Vzhledem k P.A (1, 2, 3, 4) určete součet prvních 100 výrazů.
Řešení:
Budeme muset najít výraz a100. K tomu použijeme obecný výraz vzorec PA:
TheNe =1 + (n - 1) r
The100 = 1 + (100 – 1)1
The100 = 1 + 99
The100 = 100
Nyní vzorec pro součet prvních n výrazů:
sNe = na1 +Ne)
2
s100 = 100(1 + 100)
2
s100 = 100(101)
2
s100 = 10100
2
s100 = 5050
Autor: Luiz Paulo Moreira
Vystudoval matematiku
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm
