Logaritmus je velmi důležitým nástrojem nejen pro oblast matematika, protože má uplatnění v několika oblastech vědy, jako je geografie, chemie a výpočetní technika.
Historicky logaritmus vzniká za účelem usnadnění účtů které se často objevovaly v několika vědeckých oblastech. John Napier propagoval studium logaritmů a podařilo se mu vyvinout operaci schopnou transformace produkty v součet, rozdělení na odčítání a potence v násobení.
Definování této operace postupem času formalizovali další matematici definice a vlastnosti, navíc známý logovací tabulka.
Definice logaritmu
Načrtněte graf funkce logaritmu (vpravo) a její exponenciální inverzní funkce (vlevo).
zvažte dva reálná čísla pozitivní The a B, s až ≠ 0. logaritmus B na základně The je číslo X pokud, a pouze pokud, The zvýšen na X se rovná číslu B.
Nomenklatura:
→ základna
b → logaritmus
x → logaritmus
Podívejte se na příklady:
Pokud má logaritmus základ rovný 10, je volán dekadický logaritmus. Při registraci desetinného protokolu není nutné psát základ 10. Je dohodnuto, že:
Přečtěte si také: Desetinný logaritmický systém
Jak vypočítat logaritmus?
Pro výpočet logaritmu musíme hledat a číslo, které, když zvedneme základnu, povede k logaritmu. Vezmeme-li si jako příklad logaritmus 36 v základně 6 v předchozím příkladu, měli bychom najít číslo, které, když zvýšíme základnu 6, vyústí v 36. jako 62 = 36, s odpovědí 2. Podívejme se na další příklady:
1) Přihlaste se 1000. Pro výpočet tohoto logaritmu musíme najít číslo, které se zvýší na 10 a bude se rovnat 1000, tedy 10X = 1000.
Při řešení exponenciální rovnice máme:
10X=1000
10X = 103
x = 3
Proto,
1. Vypočítejte logaritmus:
Musíme najít číslo, které se od kořene 7 rovná jednomu čtyřicet devět. Při řešení rovnice máme:
Přečtěte si více: Exponenciální rovnice - rovnice s neznámým v exponentu
Podmínka existence logaritmu
Zvažte následující logaritmus:
Výraz je definován pouze tehdy, když je základna větší než nula a odlišná od jedné a když je základna větší než nula, to znamená:
a> 0 a a 0
b> 0
Vlastnictví logaritmů
Níže uvádíme hlavní. vlastnosti logaritmů. Všechny zde uvedené logaritmy splňují podmínku existence.
Vlastnictví 1
Logaritmus součinu dvou faktorů se rovná součtu logaritmů těchto faktorů.
Vlastnictví 2
Logaritmus kvocientu mezi dvěma čísly se rovná rozdílu logaritmů těchto čísel.
Vlastnictví 3
Logaritmus síly se rovná vynásobení exponenta této síly logaritmem základny síly, kde ponecháme základnu logaritmu.
Vlastnictví 4
Logaritmus kořene se rovná inverzní hodnotě indexu kořene vynásobenému logaritmem, kde také ponecháme základnu.
Vlastnictví 5
Logaritmus čísla v základně zvednuté na mocninu se rovná násobení inverzní hodnoty exponentu této základny.
Vědět více: Aplikaceogaritmy: viz příklady
vyřešená cvičení
Otázka 1 - (Fuvest - SP) Pokud x5 = 1000 a b3 = 100, takže logaritmus x v základně b je:
A) 0,5
B) 0,9
C) 1.2
D) 1.5
E) 2.0
Řešení
Protože čísla 1000 a 100 lze zapsat do základny 10, máme:
Dosazením logaritmu x do základny b a použitím definice máme:
otázka 2 - (Enem) Vodíkový potenciál (pH) roztoku je definován jako index, který udává jeho kyselost, neutralitu nebo zásaditost. Nalezne se takto:
být H+ koncentrace vodíkových iontů v tomto roztoku. PH roztoku, kde H+ = 1,0 ·10-9, é:
Řešení:
Výměna hodnoty H.+ ve vzorci pH máme:
Autor: L.do Robson Luiz
Učitel matematiky
