Vysvětlení standardních odchylek

Prostudujte si a odpovězte na své otázky o směrodatné odchylce pomocí zodpovězených a vysvětlených cvičení.

Otázka 1

Škola pořádá olympiádu, kde je jedním z testů závod. Časy, které trvalo pět studentů k dokončení testu, v sekundách, byly:

23, 25, 28, 31, 32, 35

Standardní odchylka testovacích časů studentů byla:

Viz odpověď

Odpověď: Přibližně 3,91.

Směrodatnou odchylku lze vypočítat podle vzorce:

DP se rovná druhé odmocnině čitatele styl začátku zobrazit součet přímky i se rovná 1 až přímka n konec závorky stylu vlevo rovně x s rovným i dolní index minus MA pravá závorka na druhou nad rovným jmenovatelem n konec zlomku konec zdroj

Bytost,

∑: symbol součtu. Označuje, že musíme sečíst všechny členy, od první pozice (i=1) do pozice n
X_i: hodnota na pozici i v sadě dat
M_A: aritmetický průměr dat
n: množství dat

Pojďme vyřešit každý krok vzorce zvlášť, aby byl srozumitelnější.

Pro výpočet směrodatné odchylky je nutné vypočítat aritmetický průměr.

MA se rovná čitatel 23 mezera plus mezera 25 mezera plus mezera 28 mezera plus mezera 31 mezera plus mezera 32 mezera plus mezera 35 nad jmenovatelem 6 konec zlomku se rovná 174 nad 6 se rovná 29

Nyní přidáme odčítání každého členu střední hodnotou na druhou.

levá závorka 23 mezera mínus mezera 29 pravá závorka na druhou plus levá závorka 25 mínus 29 pravá závorka na druhou plus levá závorka 28 mínus 29 pravá závorka na druhou plus levá závorka 31 mínus 29 pravá závorka na druhou plus levá závorka 32 mínus 29 pravá závorka na druhou plus závorka levá závorka 35 mínus 29 pravá závorka na druhou rovná se mezera levá závorka mínus 6 pravá závorka na druhou plus levá závorka mínus 4 pravá závorka na druhou na druhou plus levá závorka mínus 1 pravá závorka na druhou plus 2 na druhou plus 3 na druhou plus 6 na druhou se rovná 36 plus 16 plus 1 plus 4 plus 9 plus 36 rovný 92

Hodnotu tohoto součtu vydělíme počtem přidaných prvků.

Nakonec vezmeme druhou odmocninu této hodnoty.

druhá odmocnina z 15 bodů 33 konec odmocniny se přibližně rovná 3 bodům 91

otázka 2

Stejné hodnocení bylo aplikováno na čtyři skupiny s různým počtem lidí. Minimální a maximální skóre pro každou skupinu jsou uvedeny v tabulce.

instagram story viewer

S ohledem na průměr každé skupiny jako aritmetický průměr mezi minimální a maximální známkou určete směrodatnou odchylku známek ve vztahu ke skupinám.

Uvažujte až na druhé desetinné místo pro zjednodušení výpočtů.

Viz odpověď

Odpověď: přibližně 1.03.

Směrodatnou odchylku lze vypočítat podle vzorce:

DP se rovná druhé odmocnině čitatele styl začátku zobrazit součet přímky i se rovná 1 až přímka n levá hranatá závorka x s rovným i dolní index mínus MA pravá hranatá závorka konec stylu nad rovným jmenovatelem n konec zlomku konec zdroj

Protože se množství v každé skupině liší, vypočítáme aritmetický průměr každé z nich a poté jej vážíme mezi skupiny.

Aritmetické průměry

A mezera v dvojtečce levá závorka 89 minus 74 pravá závorka děleno 2 se rovná 7 čárka 5 B mezera v dvojtečce levá závorka 85 minus 67 pravá závorka děleno 2 rovná se 9 C mezera v dvojtečce levá závorka 90 minus 70 pravá závorka děleno 2 rovná se 10 D mezera v dvojtečce levá závorka 88 minus 68 pravá závorka děleno 2 rovný 10

Vážený průměr mezi skupinami

MP se rovná mezera čitatel 7 čárka 5 mezera. prostor 8 prostor více prostoru 9 prostor. prostor 12 prostor více prostoru 10 prostor. prostor 10 prostor více prostoru 10 prostor. mezera 14 nad jmenovatelem 8 plus 12 plus 10 plus 14 konec zlomku MP se rovná čitateli 60 plus 108 plus 100 plus 140 nad jmenovatelem 44 konec zlomku MP se rovná 408 nad 44 přibližně se rovná 9 bodů 27

Výpočet termínu:

součet rovné i se rovná 1 až rovné n levá závorka rovná x s rovným i dolní index mínus M P pravá hranatá závorka , kde xi je průměr každé skupiny.

levá závorka 7 čárka 5 minus 9 čárka 27 pravá závorka umocněná plus levá závorka 9 minus 9 čárka 27 pravá závorka čtvercová plus závorka levá 10 minus 9 čárka 27 pravá závorka na druhou plus levá závorka 10 minus 9 čárka 27 pravá závorka na druhou rovná se mezera otevřené závorky minus 1 čárka 77 rovná závorka plus levá závorka mínus 0 čárka 27 pravá hranatá závorka plus levá závorka 0 čárka 73 pravá závorka čtverec plus levá závorka 0 čárka 73 pravá závorka na druhou rovná se mezera 3 čárka 13 plus 0 čárka 07 plus 0 čárka 53 plus 0 čárka 53 se rovná 4 čárka 26

Vydělení hodnoty součtu počtem skupin:

čitatel 4 čárka 26 nad jmenovatelem 4 konec zlomku roven 1 čárce 06

Vezmeme druhou odmocninu

odmocnina z 1 bodu 06 konec odmocniny se přibližně rovná 1 bodu 03

otázka 3

Aby bylo možné zavést kontrolu kvality, průmysl, který vyrábí visací zámky, monitoroval svou každodenní produkci po dobu jednoho týdne. Zaznamenali počet vadných visacích zámků vyrobených každý den. Údaje byly následující:

Pondělí: 5 vadných dílů
Úterý: 8 vadných dílů
Středa: 6 vadných dílů
Čtvrtek: 7 vadných dílů
Pátek: 4 vadné díly

Vypočítejte směrodatnou odchylku počtu vadných dílů vyrobených během daného týdne.

Uvažujte až na druhé desetinné místo.

Viz odpověď

Odpověď: Přibližně 1.41.

Pro výpočet směrodatné odchylky vypočteme průměr mezi hodnotami.

MA se rovná čitatel 5 plus 8 plus 6 plus 7 plus 4 nad jmenovatelem 5 konec zlomku se rovná 30 nad 5 se rovná 6

Pomocí vzorce pro směrodatnou odchylku:

DP se rovná druhé odmocnině čitatele počáteční styl zobrazit součet druhé mocniny i se rovná 1 až druhé mocnině n levé hranaté závorky x s druhou mocninou i dolní index mínus MA pravá druhá mocnina konec stylu nad rovným jmenovatelem n konec zlomku konec DP odmocnina se rovná druhé odmocnině z čitatele styl začátku zobrazit levou závorku 5 minus 6 pravá druhá mocnina plus levá závorka 8 mínus 6 pravá závorka na druhou plus levá závorka 6 mínus 6 pravá závorka na druhou plus levá závorka 7 mínus 6 pravá závorka čtverec plus levá závorka 4 mínus 6 pravá závorka druhá mocnina konec stylu nad jmenovatelem 5 konec zlomku konec odmocniny DP se rovná druhé odmocnině čitatele počáteční styl zobrazit levou závorku mínus 1 pravá závorka na druhou plus 2 na druhou plus 0 na druhou plus 1 na druhou plus levá závorka mínus 2 pravá závorka na druhou styl nad jmenovatelem 5 konec zlomku konec odmocnina DP se rovná druhé odmocnině z čitatele začátek styl show 1 plus 4 plus 0 plus 1 plus 4 konec styl nad jmenovatelem 5 konec zlomek konec odmocniny DP se rovná druhé odmocnině čitatele styl začátku zobrazit 10 konec stylu nad jmenovatelem 5 konec zlomku konec odmocniny se rovná přibližně odmocnině 2 rovná se 1 bodu 41

otázka 4

Prodejna hraček zjišťovala tržby společnosti v průběhu roku a získala následující údaje. v tisících realů.

Určete směrodatnou odchylku tržeb společnosti v průběhu tohoto roku.

Viz odpověď

Odpověď: přibližně 14.4.

Výpočet aritmetického průměru:

MA se rovná čitatel 15 plus 17 plus 22 plus 20 plus 8 plus 17 plus 25 plus 10 plus 12 plus 48 plus 15 plus 55 nad jmenovatelem 12 konec zlomku MA se rovná 264 nad 12 se rovná 22

Pomocí vzorce pro směrodatnou odchylku:

Pro výpočet součtu:

levá závorka 15 minus 22 pravá závorka na druhou rovná se 49 levá závorka 17 minus 22 pravá závorka na druhou rovná se 25 levá závorka 22 minus 22 pravá závorka na druhou rovná se 0 levá závorka 20 minus 22 pravá závorka na druhou rovná se 4 levá závorka 8 minus 22 pravá závorka na druhou rovná se 196 levá závorka 17 minus 22 pravá závorka na druhou rovná se 25 levá závorka 25 minus 22 pravá závorka na druhou rovná se 9 levá závorka 10 minus 22 pravá závorka na druhou rovná se 144 levá závorka 12 minus 22 pravá závorka na druhou rovná se 100 levá závorka 48 minus 22 závorka pravá hranatá závorka rovná se 676 levá závorka 15 minus 22 pravá závorka na druhou rovná se 49 levá závorka 55 minus 22 pravá závorka na druhou rovná se 1089

Sečtením všech splátek máme 2366.

Pomocí vzorce pro směrodatnou odchylku:

DP se rovná druhé odmocnině čitatele styl začátku zobrazit 2366 styl konce nad jmenovatelem 12 konec zlomek konec odmocnina přibližně stejná druhá odmocnina ze 197 bod 16 konec odmocnina přibližně rovna 14 čárka 04

otázka 5

Výzkum je prováděn s cílem poznat nejlepší odrůdu rostliny pro zemědělskou výrobu. Pět vzorků od každé odrůdy bylo vysazeno za stejných podmínek. Pravidelnost jeho vývoje je důležitým znakem pro velkosériovou výrobu.

Jejich výšky jsou po určité době nižší a pro produkci bude vybrána odrůda rostliny s větší pravidelností.

Odrůda A:

Rostlina 1: 50 cm
Rostlina 2: 48 cm
Rostlina 3: 52 cm
Rostlina 4: 51 cm
Rostlina 5: 49 cm

Odrůda B:

Rostlina 1: 57 cm
Rostlina 2: 55 cm
Rostlina 3: 59 cm
Rostlina 4: 58 cm
Rostlina 5: 56 cm

Je možné dospět k volbě výpočtem směrodatné odchylky?

Viz odpověď

Odpověď: Není to možné, protože obě odrůdy mají stejnou směrodatnou odchylku.

Aritmetický průměr A

MA se rovná čitatel 50 plus 48 plus 52 plus 51 plus 49 nad jmenovatelem 5 konec zlomku se rovná 250 nad 5 se rovná 50

standardní odchylka A

Aritmetický průměr B

M A se rovná čitatel 57 plus 55 plus 59 plus 58 plus 56 nad jmenovatelem 5 konec zlomku se rovná 285 nad 5 se rovná 57

standardní odchylka B

DP se rovná druhé odmocnině čitatele styl začátku zobrazit součet přímky i rovná se 1 až přímka n levá závorka čtverec x se čtvercem i dolní index mínus MA pravá závorka k odmocnina konec stylu nad přímým jmenovatelem n konec zlomku konec odmocnina DP se rovná odmocnině z čitatele styl začátku zobrazit levou závorku 57 minus 57 pravou závorku druhá mocnina plus levá závorka 55 minus 57 pravá závorka druhá mocnina plus levá závorka 59 minus 57 pravá závorka čtvercová plus levá závorka 58 minus 57 pravá hranatá závorka plus levá závorka 56 minus 57 pravá hranatá závorka konec stylu nad jmenovatelem 5 konec zlomku konec odmocniny DP se rovná druhé odmocnině z čitatel styl začátku zobrazit 0 plus počáteční závorka mínus 2 uzavírací závorka na druhou plus 2 na druhou plus 1 na druhou plus levá závorka mínus 1 pravá závorka další druhá mocnina konec stylu nad jmenovatelem 5 konec zlomku konec odmocnina DP se rovná druhé odmocnině z čitatele začátek stylu show 0 plus 4 plus 4 plus 1 plus 1 konec stylu nad jmenovatel 5 konec zlomku konec odmocniny DP se rovná druhé odmocnině čitatele styl začátku show 10 konec stylu nad jmenovatelem 5 konec zlomku konec odmocniny se rovná odmocnině ze 2 se rovná 1 čárka 41

otázka 6

Do jistého konkurzu na roli ve hře se přihlásili dva kandidáti a byli hodnoceni čtyřmi porotci, z nichž každý získal následující známky:

Kandidát A: 87, 69, 73, 89
Kandidát B: 87, 89, 92, 78

Určete kandidáta s nejvyšším průměrem a nejnižší směrodatnou odchylkou.

Viz odpověď

Odpověď: Kandidát B měl nejvyšší průměr a nejnižší směrodatnou odchylku.

Kandidát A průměr

MA se rovná čitatel 87 plus 69 plus 73 plus 89 nad jmenovatelem 4 konec zlomku MA se rovná 318 nad 4 MA se rovná 79 čárka 5

Kandidát B průměr

MB se rovná čitatel 87 plus 89 plus 92 plus 78 nad jmenovatelem 4 konec zlomku MB se rovná 346 nad 4 MB se rovná 86 čárka 5

standardní odchylka A

standardní odchylka B

DP se rovná druhé odmocnině čitatele styl začátku zobrazit součet druhé mocniny i se rovná 1 až druhé mocnině n levé hranaté závorky x s druhou mocninou i dolní index mínus MB čtverec pravý konec druhé druhé mocniny styl nad rovným jmenovatelem n konec zlomku konec odmocnina DP se rovná druhé odmocnině z čitatele styl začátku zobrazit levou závorku 87 minus 86 čárka 5 pravá závorka k čtverec plus otevírací závorka 89 minus 86 čárka 5 uzavírací hranatá závorka plus otevírací závorka 92 minus 86 čárka 5 uzavírací hranatá závorka plus otevírací závorka 78 minus 86 čárka 5 druhá mocnina závorky konec stylu nad jmenovatelem 4 konec zlomku konec odmocniny DP se rovná druhé odmocnině z čitatele 0 čárka 25 plus 6 čárka 25 plus 30 čárka 25 plus 72 čárka 25 nad jmenovatelem 4 konec zlomku konec DP odmocnina rovna odmocnině 109 nad 4 konec DP odmocnina rovna odmocnině z 27 čárka 25 konec DP odmocnina přibližně stejná 5 bod 22

otázka 7

(UFBA) Během pracovního dne asistoval dětský lékař ve své ordinaci pěti dětem s příznaky slučitelnými s chřipkou. Na konci dne vytvořil tabulku s počtem dní, kdy mělo každé z dětí před schůzkou horečku.

Na základě těchto údajů lze konstatovat:

Směrodatná odchylka pro počet dnů horečky u těchto dětí byla větší než dva.

Že jo

Špatně

Odpověď vysvětlena

Výpočet aritmetického průměru.

MA se rovná čitatel 3 plus 3 plus 3 plus 1 plus 5 nad jmenovatelem 5 konec zlomku se rovná 15 nad 5 se rovná 3

Standardní odchylka

DP se rovná druhé odmocnině čitatele styl začátku zobrazit součet čtverce i se rovná 1 až čtverci n levá závorka čtverec x se čtvercem i dolní index mínus MA závorka pravá druhá mocnina konec stylu nad rovným jmenovatelem n konec zlomku konec odmocninyDP se rovná druhé odmocnině čitatele styl začátku zobrazit levou závorku 3 minus 3 pravá závorka na druhou plus levá závorka 3 mínus 3 pravá závorka na druhou plus levá závorka 3 mínus 3 pravá závorka na druhou mocninu plus závorka levá 1 minus 3 pravá hranatá závorka plus levá závorka 5 minus 3 pravá hranatá závorka konec stylu nad jmenovatelem 5 konec zlomku konec odmocninyDP rovná se druhé odmocnině stylu začátku čitatele zobrazit 0 plus 0 plus 0 plus 4 plus 4 styl konce nad jmenovatelem 5 konec zlomku konec odmocninaDP se rovná druhé odmocnině z čitatel styl začátku zobrazit 8 styl konce nad jmenovatelem 5 konec zlomek konec odmocnina rovná se druhá odmocnina z 1 čárka 6 konec odmocnina mezera přibližně rovna 1 čárka 26

otázka 8

(UNB)

Výše uvedený graf ukazuje počet hospitalizací uživatelů drog do 19 let v Brazílii v letech 2001 až 2007. Průměrný počet hospitalizací v období, vyznačený tučnou čarou, byl roven 6 167.

Zaškrtněte volbu, která představuje výraz, který vám umožňuje správně určit směrodatnou odchylku — R — datové řady uvedené v grafu.

) 7 rovných R čtvercový prostor se rovná prostoru 345 čtvercový prostor plus prostor 467 čtvercový prostor plus prostor 419 na mocninu 2 konec prostoru od exponenciálního plus prostoru 275 čtverečních prostor plus prostor 356 čtverečních prostor plus prostor 74 čtverečních prostor plus prostor 164 čtverečních náměstí

b) 7 rovný prostor R se rovná prostoru √ 345 prostor plus prostor √ 467 prostor plus prostor √ 419 prostor plus prostor √ 275 prostor plus prostor √ 356 prostor plus prostor √ 74 prostor plus prostor √ 164

w) prostor 6 167 R na druhou se rovná 5 822 čtvereční prostor plus prostor 6 634 čtvereční prostor plus prostor 6 586 na druhou prostor plus prostor 5 892 čtverečních prostor plus prostor 5 811 čtverečních plus prostor 6 093 čtverečních prostor plus prostor 6 331 čtverečních náměstí

d) 6 167 rovné R se rovná √ 5 822 plus √ 6 634 plus √ 6 586 plus √ 5 892 plus √ 5 811 plus √ 6 093 plus √ 6 331

Odpověď vysvětlena

Volání směrodatné odchylky R:

rovná R se rovná druhé odmocnině čitatele styl začátku zobrazit součet přímky i se rovná 1 až přímka n levé závorky rovné x s rovným i dolní index mínus MA pravá hranatá závorka konec stylu nad jmenovatelem rovný n konec zlomku konec zdroj

Umocnění dvou výrazů:

rovná R na druhou rovná se otevřené závorky druhá odmocnina z čitatele styl začátku zobrazit součet přímky i rovná se 1 až rovná n levá závorka rovná x s rovným i dolní index minus MA pravá hranatá závorka konec stylu nad přímým jmenovatelem n konec zlomku konec odmocniny zavřít kvadratická závorka R na druhou rovná se čitatel styl začátku zobrazit součet čtverce i se rovná 1 až čtverci n levé závorky čtverec x s čtvercem i dolní index mínus MA pravá hranatá závorka konec stylu nad jmenovatelem čtverec n konec zlomek

Když je n rovno 7, přechází doleva vynásobením R².

součet přímky i se rovná 1 až přímka n levé závorky přímka x s přímkou i dolní index mínus MA pravý čtverec na druhou

Vidíme tedy, že jedinou možnou alternativou je písmeno a, protože jako jediné se R objevuje vyvýšené do čtverce.

otázka 9

(Enem 2019) Revizor z jisté autobusové společnosti zaznamenává v minutách čas, který začínající řidič stráví na absolvování určité trasy. Tabulka 1 ukazuje dobu, kterou řidič strávil na stejné trase sedmkrát. Graf 2 představuje klasifikaci variability v čase podle hodnoty směrodatné odchylky.

Na základě informací uvedených v tabulkách je časová variabilita

a) extrémně nízké.

foukat.

c) střední.

d) vysoká.

e) extrémně vysoká.

Odpověď vysvětlena

Pro výpočet směrodatné odchylky potřebujeme vypočítat aritmetický průměr.

MA se rovná čitatel 48 plus 54 plus 50 plus 46 plus 44 plus 52 plus 49 nad jmenovatelem 7 konec zlomku MA se rovná 343 nad 7 se rovná 49

Výpočet směrodatné odchylky

Vzhledem k tomu, že 2 ＜ = 3,16 ＜ 4, je variabilita nízká.

otázka 10

(Enem 2021) Zootechnik má v úmyslu vyzkoušet, zda je nové krmivo pro králíky účinnější než to, které právě používá. Současné krmivo poskytuje průměrnou hmotnost 10 kg na králíka, se standardní odchylkou 1 kg, krmeného tímto krmivem po dobu tří měsíců.

Zootechnik vybral vzorek králíků a stejnou dobu jim podával nové krmivo. Na konci zapsal hmotnost každého králíka a získal standardní odchylku 1,5 kg pro rozložení hmotností králíků v tomto vzorku.

K vyhodnocení účinnosti této dávky použije variační koeficient (CV), což je míra disperze definovaná pomocí CV = přímý čitatel S nad přímým jmenovatelem X v horním rámcovém konci zlomku , kde s představuje směrodatnou odchylku a rovné X v horním rámu , průměrná hmotnost králíků, kteří byli krmeni daným krmivem.

Zootechnik vymění krmivo, které používal, za nové, pokud variační koeficient rozložení hmotnosti králíků, kteří byli krmení novým krmivem je menší než variační koeficient distribuce hmotnosti králíků, kteří byli krmeni krmivem aktuální.

K nahrazení krmné dávky dojde, pokud průměr hmotnostního rozložení králíků ve vzorku v kilogramech je větší než

a) 5,0

b) 9.5

c) 10,0

d) 10.5

e) 15,0

Odpověď vysvětlena

aktuální příděl

Průměrná hmotnost 10 kg na králíka ()
1kg směrodatná odchylka

nový zdroj

neznámá průměrná hmotnost
Směrodatná odchylka 1,5 kg

stav pro výměnu

CV s novým indexem menším než CV s aktuálním indexem přímým čitatelem S nad přímým jmenovatelem X v horním rámečku konec zlomku menší než přímý čitatel S nad rovným jmenovatelem X v horním rámci konec zlomku čitatel 1 čárka 5 nad rovným jmenovatelem X konec zlomku menší než 1 nad 1015 menší než rovný X

dozvědět se víc o standardní odchylka.

Viz také:

Rozptyl a směrodatná odchylka
Statistika - Cvičení
Průměr, režim a střední cvičení

ASTH, Rafael. Cvičení se standardní odchylkou.All Matter, [n.d.]. K dispozici v: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-desvio-padrao/. Přístup na:

Viz také