Při řešení rovnice 2. stupně x2 - 6x + 9 = 0, najdeme dva kořeny rovné 3. Pomocí věty o rozkladu faktorujeme polynom a získáme:
X2 - 6x + 9 = 0 = (x - 3) (x - 3) = (x - 3)2
V tomto případě říkáme, že 3 je kořen multiplicity 2 nebo dvojitý kořen rovnice.
Pokud tedy výsledný polynom má za následek následující výraz:
Můžeme říci, že:
x = -5 je kořen s multiplicitou 3 nebo trojitým kořenem rovnice p (x) = 0
x = -4 je kořen s multiplicitou 2 nebo dvojitý kořen rovnice p (x) = 0
x = 2 je kořen s multiplicitou 1 nebo jednoduchý kořen rovnice p (x) = 0
Obecně říkáme, že r je kořen multiplicity n, s n ≥ 1, rovnice p (x) = 0, pokud:
Všimněte si, že p (x) je dělitelné (x - r)m a že podmínka q (r) ≠ 0 znamená, že r není kořenem q (x) a zaručuje, že multiplicita kořene r není větší než m.
Příklad 1. Vyřešte rovnici x4 - 9x3 + 23x2 - 3x - 36 = 0, vzhledem k tomu, že 3 je dvojitý kořen.
Řešení: Považujte p (x) za daný polynom. Tím pádem:
Všimněte si, že q (x) se získá vydělením p (x) číslem (x - 3)2.
Dělením praktickým zařízením Briot-Ruffini získáme:
Po provedení dělení vidíme, že koeficienty polynomu q (x) jsou 1, -3 a -4. Tedy q (x) = 0 bude: x2 - 3x - 4 = 0
Vyřešme výše uvedenou rovnici a určíme další kořeny.
X2 - 3x - 4 = 0
Δ = (-3)2 - 4*1*(-4)
Δ = 25
x = -1 nebo x = 4
Proto S = {-1, 3, 4}
Příklad 2. Napište algebraickou rovnici minimálního stupně tak, že 2 je dvojitý kořen a - 1 je jeden kořen.
Řešení: Musíme:
(x - 2) (x - 2) (x - (-1)) = 0
Nebo
Nepřestávejte... Po reklamě je toho víc;)
Autor: Marcelo Rigonatto
Specialista na statistiku a matematické modelování
Tým brazilské školy
Polynomy - Matematika - Brazilská škola
Chcete odkazovat na tento text ve školní nebo akademické práci? Dívej se:
RIGONATTO, Marcelo. "Násobnost kořene"; Brazilská škola. K dispozici v: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicidade-uma-raiz.htm. Zpřístupněno 29. června 2021.
