Při studiu kruhů je důležitým konceptem, který je třeba studovat, tečna čar ke kruhu. Pro provedení této studie je nutné porozumět relativním polohám bodu ve vztahu ke kružnici. Pokud jste nestudovali něco souvisejícího s tímto tématem, podívejte se na článek Relativní pozice mezi bodem a kružnicí.
Při sledování polohy bodu ve vztahu ke kružnici můžeme uzavřít některá fakta týkající se tečných čar. Je známo, že existují tři relativní polohy od bodu ke kruhu. Pro každou tuto pozici můžeme uzavřít něco o tečné přímce, která prochází tímto bodem.
• Bod uvnitř kruhu: Tímto bodem nemůžete nakreslit tečnou čáru.
• Bod patřící do kružnice: skrz tento bod můžeme mít pouze tečnou čáru, protože je to tečný bod.
• Bod mimo kruh: z tohoto bodu můžeme nakreslit dvě přímky tečné ke kruhu.
Proto, abychom určili rovnici tečny přímky ke kružnici procházející daným bodem, musíme nutně určit relativní polohu tohoto bodu. Tato poloha závisí na vzdálenosti od bodu ke středu kružnice.
Musíme si pamatovat některá důležitá fakta o analytické geometrii:
• Nejkratší vzdálenost od bodu k přímce je úsek kolmý na tuto přímku;
• Tečná čára bude vždy kolmá na paprsek v jeho tečném bodě.
Ve vztahu k dvěma předchozím skutečnostem lze konstatovat, že vzdálenost od tečny ke středu musí být rovna poloměru.
Proto, abychom určili rovnici tečny, musíme analyzovat polohu bodu, který nakreslíme k přímce a tak vypočítat vzdálenost přímky, která obsahuje tento bod, ve vztahu ke středu obvod.
Pro lepší pochopení všech těchto konceptů budeme pracovat s příklady, které tyto úvahy vyžadují.
1) Určete rovnici (přímky) přímky (tečen) k danému obvodu nakreslenou bodem P.
a) ekv. obvod: x2+ y2 - 6x - 8y = 0 P (0,0)
Díky tomu můžeme získat potřebné informace o našem problému:
C (3,4), r = 5.
Nyní musíme najít relativní polohu bodu P (0,0):
Proto je bod P tečným bodem.
Určme rovnici přímky procházející bodem P.
Abychom mohli skutečně určit rovnici přímky, musíme ještě zjistit, jaký je sklon této přímky. Jedním z faktů, které jsme viděli na začátku tohoto článku, byla kolmost tečny k poloměru kruhu. Bod P je bod tečnosti, takže sklon přímky, která prochází bodem P a střed, musí být kolmý na tečnou přímku. K tomu máme vztah mezi kolmými svahy.
Jinými slovy, součin sklonů kolmých čar se rovná -1.
K určení sklonu segmentu PC musíme použít následující výraz:
S tím získáme rovnici tečny:
Dalším způsobem, jak určit hodnotu m, by byl výpočet vzdálenosti od středu k přímce. Tato vzdálenost se rovná poloměru. Uvidíme:
Když je bod mimo kružnici, měli bychom najít tečný bod pomocí vzdálenosti od středu kružnice k tečná čára, takže určíme hodnotu úhlového koeficientu tečné přímky, která zase určí rovnici přímky tečna.
Autor: Gabriel Alessandro de Oliveira
Vystudoval matematiku
Tým brazilské školy
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tangencia-circunferencia.htm
