Průběhy: jaké jsou, typy, vzorce, příklady

Víme jak průběhy konkrétní případy číselné řady. Existují dva případy postupu:

• aritmetický postup

• geometrický průběh

Abychom byli progresí, musíme analyzovat charakteristiky sekvence, zda existuje důvod, který nazýváme. když je postup aritmetický, důvodem není nic jiného než konstanta, kterou přidáme k výrazu, abychom našli jeho následníka v pořadí; teď, když pracujete s progresí geometrický„důvod má podobnou funkci, pouze v tomto případě je důvodem konstantní člen, kterým vynásobíme člen v posloupnosti, abychom našli jeho nástupce.

Kvůli předvídatelné chování postupu, existují specifické vzorce pro nalezení libovolného výrazu v těchto sekvencích a je také možné vyvinout a vzorec pro každý z nich (tj. jeden pro aritmetický postup a jeden pro geometrický postup), aby bylo možné vypočítat součet ZNe první podmínky tohoto postupu.

Přečtěte si také: Funkce - co to je a k čemu jsou?

Množství fazolí na sklizeň se chová jako geometrický postup

číselná řada

Abychom pochopili, co jsou pokroky, musíme nejdříve pochopit, o co jde

číselné řady. Jak název napovídá, známe číselnou řadu a sada čísel, která respektují pořadí, jsou dobře definované nebo nejsou. Na rozdíl od sady numerika, kde na pořadí nezáleží, v numerické posloupnosti je pořadí nezbytné, například:

Sekvence (1, 2, 3, 4, 5) se liší od (5, 4, 3, 2, 1), která se liší od sekvence (1, 5, 4, 3, 2). I když jsou prvky stejné, protože pořadí je jiné, máme různé sekvence.

Příklady:

Můžeme psát sekvence, jejichž formace jsou snadno viditelné:

a) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → posloupnost sudých čísel menších nebo rovných 12.

b) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → regresní posloupnost lichých čísel od 17 do 5.

c) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…) → známé jako Fibonacciho sekvence.

d) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4…) → i když není možné popsat tuto posloupnost jako ostatní, lze snadno předpovědět, jaké budou její další pojmy.

V ostatních případech sekvence mohou mít ve svých hodnotách úplnou náhodnost, v každém případě, aby byla sekvence, důležité je mít sadu uspořádaných hodnot.

až 1; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)

b) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)

Nakolik není možné předpovědět, kdo jsou další výrazy v písmenu b, stále pracujeme na pokračování.

Obecně, řetězce jsou vždy zastoupeny v závorkách (), následujícím způsobem:

(The₁, a₂, The₃, a₄, The₅, a₆, a₇, a₈ …) → nekonečná posloupnost

(The₁, a₂, The₃, a₄, The₅, a₆, a₇, a₈ … A_Ne) → konečná posloupnost

V obou máme následující zastoupení:

The₁ → první termín

The₂ → druhý termín

The₃ → třetí termín

.

.

.

The_Ne → n-tý termín

Pozorování: Je velmi důležité, aby při reprezentaci sekvence byla data uzavřena v závorkách. Sekvenční notace je často zaměňována s notovou sadou. Sada je zastoupena v závorkách a v sadě není důležité pořadí, což v tomto případě dělá rozdíl.

(1, 2, 3, 4, 5) → sekvence

{1, 2, 3, 4, 5} → nastavit

Existují konkrétní případy posloupnosti, které se označují jako postupnosti.

Podívejte se také: Jaký je základní princip počítání?

Co jsou to průběhy?

Sekvence je definována jako postup, když má a pravidelnost z jednoho semestru na druhé, známý jako důvod. Existují dva případy progrese, aritmetická progrese a geometrická progrese. Abychom věděli, jak je odlišit, musíme pochopit, jaký je důvod pro postup a jak tento důvod interaguje s podmínkami posloupnosti.

Když z jednoho výrazu do druhého v pořadí mám a konstantní součet, tato sekvence je definována jako postup a v tomto případě je to a aritmetický postup. Tato hodnota, kterou neustále sčítáme, se nazývá poměr. Druhý případ, tj. Když je sekvence a geometrický průběh, z jednoho výrazu do druhého existuje a násobení konstantní hodnotou. Analogicky je tato hodnota poměrem geometrické progrese.

Příklady:

a) (1, 4, 7, 10, 13, 16…) → všimněte si, že vždy přidáváme 3 z jednoho členu do druhého, takže máme aritmetický průběh poměru rovného 3.

b) (1, 10, 100, 1000, 10 000…) → v tomto případě vždy vynásobíme 10 z jednoho členu do druhého, což se týká geometrické posloupnosti poměru 10.

c) (0, 2, 8, 26…) → v druhém případě existuje pouze jedna sekvence. Chcete-li najít další výraz, vynásobte termín 3 a přidejte 2. V tomto případě, i když existuje pravidelnost hledání dalších výrazů, jde pouze o posloupnost, nikoli o aritmetický nebo geometrický postup.

aritmetický postup

Když pracujeme s číselnými sekvencemi, ty sekvence, ve kterých můžeme předvídat jejich další termíny, jsou docela opakující se. Aby byla tato sekvence klasifikována jako a aritmetický postup, musí existovat a důvod A. Od prvního funkčního období je další funkční období sestaven součtem předchozího období s důvodem r.

Příklady:

a) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 ...)

Toto je posloupnost, kterou lze klasifikovat jako aritmetický postup, protože důvod r = 3 a první člen je 4.

b) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23…)

Tato posloupnost je aritmetickým postupem s dobrým důvodem. r = -5 a jeho první člen je 7.

• Podmínky PA

V mnoha případech je naším zájmem najít konkrétní výraz v postupu, aniž bychom museli psát celou sekvenci. Známe-li hodnotu prvního členu a poměr, je možné najít hodnotu libovolného členu v aritmetické posloupnosti. Abychom našli výrazy arimetického postupu, použijeme vzorec:

The_Ne =₁+ (n - 1) r

Příklad:

Najděte 25. člen P.A, jehož poměr je 3 a první člen je 12.

Data r = 3,₁ = 12. Chceme najít 25. člen, tj. N = 25.

The_Ne =₁+ (n - 1) r

The₂₅ = 12 + (25 - 1) · 3

The₂₅ = 12 + 24 · 3

The₂₅ = 12 + 72

The₂₅ = 84

• Obecný termín P.A.

Obecný výraz vzorec je a způsob, jak zjednodušit vzorec výrazu AP rychleji najít jakýkoli termín postupu. Jakmile je znám první člen a důvod, stačí ve vzorci dosadit výraz P.A., aby bylo možné najít obecný člen aritmetické progrese, který závisí pouze na hodnotě Ne.

Příklad:

Najděte obecný výraz P.A., který má r = 3 a₁ = 2.

The_Ne = 2 + (n -1) r

The_Ne = 2 + (n -1) 3

The_Ne = 2 + 3n - 3

The_Ne = 2n - 1

Toto je obecný pojem P.A., který slouží k vyhledání jakéhokoli výrazu v tomto postupu.

• Součet podmínek PA

THE součet podmínek PA bylo by docela namáhavé, kdyby bylo nutné najít každý z jeho výrazů a sečíst je. Existuje vzorec pro výpočet součtu všech Ne první členy aritmetického postupu:

Příklad:

Najděte součet všech lichých čísel od 1 do 100.

Víme, že lichá čísla jsou aritmetickým postupem poměru 2: (1, 3, 5, 7... 99). V tomto postupu je 50 termínů, protože od 1 do 100 je polovina čísel sudá a druhá polovina lichá.

Proto musíme:

n = 50

The₁ = 1

The_Ne = 99

Také přístup: Funkce 1. stupně - praktické využití aritmetického postupu

Geometrický průběh

Řetězec lze také klasifikovat jako progrese geometrický (PG). Aby posloupnost byla geometrickou posloupností, musí mít důvod, ale v tomto případě, abychom našli další člen z prvního členu, provedeme vynásobení poměru předchozím obdobím.

Příklady:

a) (3, 6, 12, 24, 48…) → Geometrický průběh poměru 2 a jeho první člen je 3.

b) (20, 200, 2000, 20 000…) → Geometrický průběh poměru 10 a jeho první člen je 20.

• Termín PG

V geometrickém postupu představujeme důvod dopisu co. Termín geometrické posloupnosti lze najít podle vzorce:

The_Ne =₁ · co^{n - 1}

Příklad:

Najděte 10. termín PG, vězte to co = 2 a₁ = 5.

The_Ne =₁ · co^{n - 1}

The₁₀ = 5 · 2^{10 - 1}

The₁₀ = 5 · 2⁹

The₁₀ = 5 · 512

The₁₀ = 2560

• Obecný termín PG

Když známe první člen a důvod, je možné generovat obecný výrazový vzorec z geometrické posloupnosti, která závisí výhradně na hodnotě Ne. K tomu stačí nahradit první člen a poměr a najdeme rovnici, která závisí pouze na hodnotě Ne.

Pomocí předchozího příkladu, kde poměr je 2 a první člen je 5, je obecný výraz pro tento GP:

The_Ne =₁ · co^{n - 1}

The_Ne = 5 · 2^{n - 1}

• Součet podmínek PG

Přidání všech podmínek postupu by bylo hodně práce. V mnoha případech je psaní celé sekvence k dosažení tohoto součtu časově náročné. Pro usnadnění tohoto výpočtu má geometrický průběh vzorec, který slouží k výpočtu součet Ne první prvky konečného PG:

Příklad:

Najděte součet prvních 10 podmínek GP (1, 2, 4, 8, 16, 32…).

Pamatujte, že poměr tohoto PG je roven 2.

The₁ = 1

co = 2

Ne = 10

Přečtěte si také: Exponenciální funkce - praktické využití geometrické posloupnosti

Cvičení vyřešena

Otázka 1 - Vědci několik dní sledují zvláštní kulturu bakterií. Jeden z nich analyzuje růst této populace a všiml si, že prvního dne bylo 100 bakterií; ve druhém 300 bakterií; ve třetím 900 bakterií atd. Analýzou této sekvence můžeme říci, že je:

A) aritmetický průběh poměru 200.

B) geometrický průběh poměru 200.

C) arimetická progrese důvodu 3.

D) geometrický průběh poměru 3.

E) posloupnost, ale ne postup.

Řešení

Alternativa D.

Při analýze sekvence máme podmínky:

Všimněte si, že 900/300 = 3, stejně jako 300/100 = 3. Proto pracujeme s PG v poměru 3, protože vynásobíme třemi z prvního členu.

Otázka 2 - (Enem - PPL) Pro začátečníka v běhu byl stanoven následující denní tréninkový plán: běžet 300 metrů první den a zvýšit 200 metrů denně od druhého. Aby mohl spočítat svůj výkon, použije k připevnění tenisky čip, který změří vzdálenost, kterou ujel trénink. Vezměte v úvahu, že tento čip uchovává ve své paměti maximálně 9,5 km běhu / chůze a musí být umístěn na začátku tréninku a po vyčerpání prostoru pro rezervu dat musí být vyřazen. Pokud tento sportovec použije čip od prvního dne tréninku, na kolik po sobě jdoucích dní bude tento čip schopen ukládat počet kilometrů daného denního tréninkového plánu?

A) 7

B) 8

C) 9

D) 12

E) 13

Řešení

Alternativa B.

Při analýze situace víme, že máme PA s důvodem 200 a počátečním koncem rovným 300.

Dále víme, že součet S_Ne = 9,5 km = 9500 metrů.

S těmito daty najdeme pojem a_Ne, což je počet kilometrů zaznamenaných v poslední den skladování.

Je také třeba připomenout, že jakýkoli výraz a_Ne lze napsat jako:

The_Ne =₁ + (n - 1)r

Vzhledem k rovnici 200n² + 400n - 19000 = 0 můžeme všechny členy rozdělit na 200, což zjednoduší rovnici a najde: n² + 2n - 95 = 0.

U delty a Bhaskary musíme:

a = 1

b = 2

c = -95

Δ = b² - 4ac

Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)

Δ = 4 – 4 · (-95)

Δ = 4 + 380

Δ = 384

Víme, že 8,75 odpovídá 8 dnům a několika hodinám. V tomto případě je počet dní, ve kterých lze měření provést, 8.

Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky

Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm