Operace se složitými čísly v trigonometrické formě usnadňují výpočet zahrnující prvky této sady. Násobení a dělení komplexů, které jsou v trigonometrické formě, se provádí téměř okamžitě, zatímco v algebraické formě vyžaduje tento proces více výpočtů. Zesílení a vyzařování komplexů v trigonometrické formě je také usnadněno použitím Moivrových vzorců. Podívejme se, jak probíhá zakořenění těchto čísel:
Uvažujme jakékoli komplexní číslo z = a + bi. Trigonometrická forma z je:
Kořeny n-indexu z jsou dány druhým Moivreovým vzorcem:
![](/f/00d61d3a15c56c0a36d85712b5f59020.jpg)
Příklad 1. Najděte druhé odmocniny 2i.
Řešení: Nejprve musíme napsat komplexní číslo v trigonometrické formě.
Celé komplexní číslo má tvar z = a + bi. Musíme tedy:
![](/f/eb021f4f2bab75f8c2a5e62da2472bc1.jpg)
Víme také, že:
S hodnotami sinus a kosinus můžeme konstatovat, že:
Trigonometrická forma z = 2i je tedy:
Nyní vypočítejme odmocniny z pomocí Moivreova vzorce.
Protože chceme druhé odmocniny z, dostaneme dva odlišné kořeny z0 a z1.
Pro k = 0 budeme mít
Pro k = 1 budeme mít:
Nebo
Příklad 2. Získejte kubické kořeny z = 1 ∙ (cosπ + i ∙ senπ)
Řešení: Jelikož je komplexní číslo již v trigonometrické formě, stačí použít Moivreův vzorec. Z tvrzení máme, že ø = π a | z | = 1. Tím pádem,
![](/f/53c4834ba06d20a9d9a46787f9dbab61.jpg)
Budeme mít tři odlišné kořeny, z0, z1 a z2.
Pro k = 0
![](/f/6fd9edb1cc2aa7929621fb1cf3f0df2e.jpg)
Pro k = 1
![](/f/c7d054037578422dcf1a5ff940c294c7.jpg)
Nebo z1 = - 1, protože cos π = - 1 a sin π = 0.
Pro k = 2
![](/f/563d7afdeec2e1eb0fd91b2be66701eb.jpg)
Autor: Marcelo Rigonatto
Specialista na statistiku a matematické modelování
Tým brazilské školy
Složitá čísla - Matematika - Brazilská škola
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/radiciacao-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htm