Pro výpočet determinantů čtvercových matic řádu menších nebo rovných 3 (n≤3) máme k provedení těchto výpočtů některá praktická pravidla. Pokud je však objednávka větší než 3 (n> 3), mnoho z těchto pravidel se nepoužije.
Uvidíme tedy Laplaceovu větu, která pomocí konceptu kofaktoru vede výpočet determinantů k pravidlům, která platí pro všechny čtvercové matice.
Laplaceova věta spočívá v výběru jednoho z řádků (řádku nebo sloupce) matice a přidání součinů prvků tohoto řádku jejich příslušnými kofaktory.
Algebraická ilustrace:
Podívejme se na příklad:
Vypočítejte determinant matice C pomocí Laplaceovy věty:
Podle Laplaceovy věty musíme pro výpočet determinantu vybrat řádek (řádek nebo sloupec). Použijme první sloupec:
Musíme najít hodnoty kofaktoru:
Laplaceovou větou je tedy determinant matice C dán následujícím výrazem:
Všimněte si, že nebylo nutné vypočítat kofaktor prvku matice, který se rovnal nule, koneckonců, když vynásobíme kofaktor, výsledek by byl stejně nulový. Proto když narazíme na matice, které mají v jedné ze svých řad mnoho nul, použití Laplaceovy věty se stává zajímavým, protože nebude nutné vypočítat několik kofaktory.
Podívejme se na příklad této skutečnosti:
Vypočítejte determinant matice B pomocí Laplaceovy věty:
Všimněte si, že druhý sloupec je řádek, který má největší množství nul, takže tento řádek použijeme k výpočtu maticového determinantu prostřednictvím Laplaceovy věty.
Chcete-li tedy určit determinant matice B, jednoduše najděte kofaktor A22.
Proto můžeme dokončit výpočty determinantu:
det B = (- 1). (- 65) = 65
Autor: Gabriel Alessandro de Oliveira
Vystudoval matematiku
Tým brazilské školy
Zdroj: Brazilská škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-laplace.htm